Question

19．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)均滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x-3y+1≤0}\\{x+y-3≤0}\\{x-1≥0}\end{array}\right.$，設(shè)$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角為θ，則sinθ的最大值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{4\sqrt{65}}{65}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{3}{5}$

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合求出A，B的位置，利用向量的數(shù)量積求出夾角的余弦，即可得到結(jié)論．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，要使sinθ最大，
則由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x+y-3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即A（1，2），
由$\left\{\begin{array}{l}{x-3y+1=0}\\{x+y-3=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，即B（2，1），
∴此時夾角θ最大，
則$\overrightarrow{OA}$=（1，2），$\overrightarrow{OB}$=（2，1），
則cosθ=$\frac{\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{OA}|•\overrightarrow{|OB}|}$=$\frac{1×2+2×1}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}=\frac{4}{5}$，
∴sinθ=$\frac{3}{5}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，以及向量的數(shù)量積運(yùn)算，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．