Question

7．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P是直線l：x=-$\frac{1}{2}$上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)F（$\frac{1}{2}$，0），點(diǎn)Q為PF的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足$\overrightarrow{MQ}$•$\overrightarrow{PF}$=0，$\overrightarrow{MP}$=λ$\overrightarrow{OF}$（λ∈R），過(guò)點(diǎn)M作圓（x-3）²+y²=2的切線，切點(diǎn)分別為S，T，則滿足|ST|的最小值為$\frac{2\sqrt{30}}{5}$．

Answer 1

分析 由題意首先求出M的軌跡方程，然后在M滿足的曲線上設(shè)點(diǎn)，只要求曲線上到圓心的距離的最小值，即可得到|ST|的最小值．

解答 解：設(shè)M坐標(biāo)為 M（x，y），由MP⊥l知 P（-$\frac{1}{2}$，y），
由點(diǎn)Q為PF的中點(diǎn)知 Q（0，$\frac{y}{2}$），
又因?yàn)镼M⊥PF，QM、PF斜率乘積為-1，即 $\frac{y-\frac{y}{2}}{x}$=-$\frac{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}{y}$，
解得：y²=2x，
∴M的軌跡是拋物線，
設(shè)M（y²，$\sqrt{2}$y），到圓心（3，0）的距離為d，d²=（y²-3）²+2y²=y⁴-4y²+9=（y²-2）²+5，
∴y²=2時(shí)，d_min=$\sqrt{5}$，此時(shí)的切線長(zhǎng)為$\sqrt{5-2}=\sqrt{3}$，
∴|ST|的最小值為2×$\frac{\sqrt{3}×\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{30}}{5}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{30}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線軌跡方程的求法以及與圓相關(guān)的距離的最小值求法，屬于中檔題．