7.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P是直線l:x=-$\frac{1}{2}$上一動(dòng)點(diǎn),定點(diǎn)F($\frac{1}{2}$,0),點(diǎn)Q為PF的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M滿足$\overrightarrow{MQ}$•$\overrightarrow{PF}$=0,$\overrightarrow{MP}$=λ$\overrightarrow{OF}$(λ∈R),過(guò)點(diǎn)M作圓(x-3)2+y2=2的切線,切點(diǎn)分別為S,T,則滿足|ST|的最小值為$\frac{2\sqrt{30}}{5}$.

分析 由題意首先求出M的軌跡方程,然后在M滿足的曲線上設(shè)點(diǎn),只要求曲線上到圓心的距離的最小值,即可得到|ST|的最小值.

解答 解:設(shè)M坐標(biāo)為 M(x,y),由MP⊥l知 P(-$\frac{1}{2}$,y),
由點(diǎn)Q為PF的中點(diǎn)知 Q(0,$\frac{y}{2}$),
又因?yàn)镼M⊥PF,QM、PF斜率乘積為-1,即 $\frac{y-\frac{y}{2}}{x}$=-$\frac{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}{y}$,
解得:y2=2x,
∴M的軌跡是拋物線,
設(shè)M(y2,$\sqrt{2}$y),到圓心(3,0)的距離為d,d2=(y2-3)2+2y2=y4-4y2+9=(y2-2)2+5,
∴y2=2時(shí),dmin=$\sqrt{5}$,此時(shí)的切線長(zhǎng)為$\sqrt{5-2}=\sqrt{3}$,
∴|ST|的最小值為2×$\frac{\sqrt{3}×\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{30}}{5}$.
故答案為:$\frac{2\sqrt{30}}{5}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線軌跡方程的求法以及與圓相關(guān)的距離的最小值求法,屬于中檔題.

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