Question

9．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≥0}\\{y-x-1≤0}\\{x≤1}\end{array}\right.$，則$\frac{x+2y}{2x+y}$的取值范圍是[1，$\frac{7}{5}$]．

Answer 1

分析 令u=$\frac{x+2y}{2x+y}$=$\frac{1+2•\frac{y}{x}}{2+\frac{y}{x}}$，設(shè)k=$\frac{y}{x}$，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：
，
令u=$\frac{x+2y}{2x+y}$=$\frac{1+2•\frac{y}{x}}{2+\frac{y}{x}}$，
設(shè)k=$\frac{y}{x}$，則u=$\frac{1+2k}{2+k}$=2-$\frac{3}{k+2}$，
而k的幾何意義表示過(guò)平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)的直線的斜率，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2=0}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$，解得：A（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2=0}\\{x=1}\end{array}\right.$，解得：B（1，1），
∴K_OA=3，K_OB=1，
∴1≤k≤3，
函數(shù)u=$\frac{1+2k}{2+k}$=2-$\frac{3}{k+2}$在k∈[1，3]遞增，
k=1時(shí)，u=1，k=3時(shí)：u=$\frac{7}{5}$，
∴u=$\frac{x+2y}{2x+y}$的范圍是[1，$\frac{7}{5}$]，
故答案為：[1，$\frac{7}{5}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以及直線斜率的求解，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．