9.設實數(shù)x,y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2≥0}\\{y-x-1≤0}\\{x≤1}\end{array}\right.$,則$\frac{x+2y}{2x+y}$的取值范圍是[1,$\frac{7}{5}$].

分析 令u=$\frac{x+2y}{2x+y}$=$\frac{1+2•\frac{y}{x}}{2+\frac{y}{x}}$,設k=$\frac{y}{x}$,利用數(shù)形結合即可得到結論.

解答 解:畫出滿足條件的平面區(qū)域,如圖示:
,
令u=$\frac{x+2y}{2x+y}$=$\frac{1+2•\frac{y}{x}}{2+\frac{y}{x}}$,
設k=$\frac{y}{x}$,則u=$\frac{1+2k}{2+k}$=2-$\frac{3}{k+2}$,
而k的幾何意義表示過平面區(qū)域內的點與原點的直線的斜率,
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2=0}\\{x-y+1=0}\end{array}\right.$,解得:A($\frac{1}{2}$,$\frac{3}{2}$),
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-2=0}\\{x=1}\end{array}\right.$,解得:B(1,1),
∴KOA=3,KOB=1,
∴1≤k≤3,
函數(shù)u=$\frac{1+2k}{2+k}$=2-$\frac{3}{k+2}$在k∈[1,3]遞增,
k=1時,u=1,k=3時:u=$\frac{7}{5}$,
∴u=$\frac{x+2y}{2x+y}$的范圍是[1,$\frac{7}{5}$],
故答案為:[1,$\frac{7}{5}$].

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用以及直線斜率的求解,利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵.

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