Question

1．已知函數(shù)f（x）=sinx+cosx．
（1）求函數(shù)F（x）=f（x）f（-x）+f²（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）設(shè)△ABC的三邊a，b，c滿足b²=ac，且邊b所對的角為B，求函數(shù)f（B）的值域．

Answer 1

分析 （1）化簡得F（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，令-$\frac{π}{2}+2kπ$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，解出單調(diào)增區(qū)間；
（2）利用余弦定理和基本不等式解出B的范圍，再利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出f（B）的最值．

解答 解：（1）F（x）=（sinx+cosx）（-sinx+cosx）+（sinx+cosx）²
=cos²x-sin²x+2sinxcosx+1=cos2x+sin2x+1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1．
令-$\frac{π}{2}+2kπ$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}+2kπ$，解得-$\frac{3π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{π}{8}$+kπ．
∴F（x）的單調(diào)增區(qū)間為[-$\frac{3π}{8}$+kπ，$\frac{π}{8}$+kπ]，k∈Z．
（2）f（B）=sinB+cosB=$\sqrt{2}$sin（B+$\frac{π}{4}$）．
∵cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，∴0＜B≤$\frac{π}{3}$．∴$\frac{π}{4}$＜B+$\frac{π}{4}$≤$\frac{7π}{12}$．
∴當(dāng)B+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$時，f（B）取得最大值$\sqrt{2}$．當(dāng)B+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$時，f（B）取得最小值1．
∴函數(shù)f（B）的值域為（1，$\sqrt{2}$]．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換和正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．