Question

9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，0＜α＜π），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{p}{1-cosθ}$（p＞0）．
（Ⅰ）寫出直線l的極坐標(biāo)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求$\frac{1}{|OA|}$+$\frac{1}{|OB|}$的值．

Answer 1

分析 （1）分別用x，y表示t，消去參數(shù)得到普通方程，再化為極坐標(biāo)方程；
（2）聯(lián)立方程組解出A，B坐標(biāo)，代入兩點(diǎn)間的距離公式得出|OA|，|OB|，再進(jìn)行化簡計(jì)算．

解答 解：（I）由$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{t=\frac{x}{cosα}}\\{t=\frac{y}{sinα}}\end{array}\right.$，∴直線l的普通方程為$\frac{x}{cosα}$-$\frac{y}{sinα}$=0，即sinαx-cosαy=0．
把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入普通方程得sinαρcosθ-cosαρsinθ=0．
∵ρ=$\frac{p}{1-cosθ}$，∴p=ρ-ρcosθ=ρ-x，∴ρ=p+x，兩邊平方得ρ²=x²+2px+p²，∴x²+y²=x²+2px+p²，即y²-2px-p²=0．
（II）聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{sinαx-cosαy=0}\\{{y}^{2}-2px-{p}^{2}=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{co{s}^{2}α+cosα}{si{n}^{2}α}p}\\{y=\frac{cosα+1}{sinα}p}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{co{s}^{2}α-cosα}{si{n}^{2}α}p}\\{y=\frac{cosα-1}{sinα}p}\end{array}\right.$．
∴|OA|²=（$\frac{co{s}^{2}α+cosα}{si{n}^{2}α}p$）²+（$\frac{cosα+1}{sinα}p$）²=$\frac{（cosα+1）^{2}}{si{n}^{4}α}{p}^{2}$，|OB|²=（$\frac{co{s}^{2}α-cosα}{si{n}^{2}α}p$）²+（$\frac{cosα-1}{sinα}p$）²=$\frac{（cosα-1）^{2}}{si{n}^{4}α}{p}^{2}$，
∴|OA|=$\frac{cosα+1}{si{n}^{2}α}p$，|OB|=$\frac{1-cosα}{si{n}^{2}α}p$．
∴$\frac{1}{|OA|}$+$\frac{1}{|OB|}$=$\frac{si{n}^{2}α}{（1+cosα）p}$+$\frac{si{n}^{2}α}{（1-cosα）p}$=$\frac{si{n}^{2}α}{p}$（$\frac{1}{1+cosα}$+$\frac{1}{1-cosα}$）=$\frac{2}{p}$．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，三角函數(shù)的恒等變換，距離公式的應(yīng)用等．屬于中檔題．