分析 (Ⅰ)推導(dǎo)出a3=|a2|-a0=|a2|,a4=|a3|-a2=|a2|-a2,由此能求出a3,a5的值.
(Ⅱ)假設(shè)P數(shù)列{an}的項(xiàng)都是正數(shù),則an+2=an+1-an,an+3=an+2-an+1=-an<0,與假設(shè)矛盾;假設(shè)P數(shù)列{an}的項(xiàng)都是負(fù)數(shù),則an+2=|an+1|-an>0,與假設(shè)矛盾,由此能證明{an}的項(xiàng)不可能全是正數(shù),也不可能全是負(fù)數(shù).
(Ⅲ)存在最小的正整數(shù)k滿(mǎn)足ak<0,ak+1>0(k≤5),數(shù)列{an}是周期為9的數(shù)列,由此能求出結(jié)果.
解答 解:(Ⅰ)因?yàn)閧an}是P數(shù)列,且a1=0,
所以a3=|a2|-a0=|a2|,
所以a4=|a3|-a2=|a2|-a2,
所以|a2|-a2=1,解得${a_2}=-\frac{1}{2}$….(1分)
所以${a_3}=\frac{1}{2},{a_5}=|{a_4}|-{a_3}=\frac{1}{2}$.….(3分)
證明:(Ⅱ)假設(shè)P數(shù)列{an}的項(xiàng)都是正數(shù),即an>0,an+1>0,an+2>0,
所以an+2=an+1-an,an+3=an+2-an+1=-an<0,與假設(shè)矛盾.
故P數(shù)列{an}的項(xiàng)不可能全是正數(shù),….(5分)
假設(shè)P數(shù)列{an}的項(xiàng)都是負(fù)數(shù),
則an<0,而an+2=|an+1|-an>0,與假設(shè)矛盾,….7分
故P數(shù)列{an}的項(xiàng)不可能全是負(fù)數(shù).
解:(Ⅲ)由(Ⅱ)可知P數(shù)列{an}中項(xiàng)既有負(fù)數(shù)也有正數(shù),
且最多連續(xù)兩項(xiàng)都是負(fù)數(shù),最多連續(xù)三項(xiàng)都是正數(shù).
因此存在最小的正整數(shù)k滿(mǎn)足ak<0,ak+1>0(k≤5).
設(shè)ak=-a,ak+1=b(a,b>0),
則ak+2=b+a,ak+3=a,ak+4=-b,ak+5=b-a.a(chǎn)k+6=|b-a|+b,ak+7=|b-a|+a,ak+8=a-b,ak+9=-a,ak+10=b,
故有ak=ak+9,即數(shù)列{an}是周期為9的數(shù)列….(9分)
由上可知ak,ak+1,…,ak+8這9項(xiàng)中,
ak,ak+4為負(fù)數(shù),ak+5,ak+8這兩項(xiàng)中一個(gè)為正數(shù),另一個(gè)為負(fù)數(shù),其余項(xiàng)都是正數(shù).
因?yàn)?016=9×224,
所以當(dāng)k=1時(shí),m=224×3=672;
當(dāng)2≤k≤5時(shí),a1,a2,…,ak-1這k-1項(xiàng)中至多有一項(xiàng)為負(fù)數(shù),而且負(fù)數(shù)項(xiàng)只能是ak-1,
記ak,ak+1,…,a2016這2007-k項(xiàng)中負(fù)數(shù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)為t,
當(dāng)k=2,3,4時(shí),若ak-1<0,則b=ak+1=|ak|-ak-1>|ak|=a,故ak+8為負(fù)數(shù),
此時(shí)t=671,m=671+1=672;
若ak-1>0,則b=ak+1=|ak|-ak-1<|ak|=a,故ak+5為負(fù)數(shù).
此時(shí)t=672,m=672,
當(dāng)k=5時(shí),ak-1必須為負(fù)數(shù),t=671,m=672,….(12分)
綜上可知m的取值集合為{672}.….(13分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列中第3項(xiàng)和第5項(xiàng)的求法,考查數(shù)列中的項(xiàng)不可能全是正數(shù),也不可能全是負(fù)數(shù)的證明,考查實(shí)數(shù)的集合的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意數(shù)列性質(zhì)的合理運(yùn)用.
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A. | 60 | B. | -60 | C. | 30 | D. | -30 |
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A. | 若a>b,則ac2>bc2 | |
B. | 若x≠0,則x+$\frac{4}{x}$的最小值為4 | |
C. | “φ=$\frac{π}{2}$”是函數(shù)y=sin(x+φ)為偶函數(shù)“的充要條件 | |
D. | 命題“?x>0,x-lnx>0”的否定是“?x0>0,x0-lnx0≤0” |
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