Question

11．已知定義域?yàn)镽的連續(xù)函數(shù) f（x），若 f（x）滿足對(duì)于?x∈R，?m∈R（m≠0），都有 f（m+x）=-mf（x）成立，則稱函數(shù) f（x）為“反m倍函數(shù)”，給出下列“反m倍函數(shù)”的結(jié)論：
①若 f（x）=1是一個(gè)“反m倍函數(shù)”，則 m=-1；
②f（x）=sinπx是一個(gè)“反1倍函數(shù)”；
③f（x）=x²是一個(gè)“反m倍函數(shù)”；
④若f（x）是一個(gè)“反2倍函數(shù)”，則f（x）至少有一個(gè)零點(diǎn)，
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A． l
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 根據(jù)“反m倍函數(shù)”的定義分別進(jìn)行判斷即可．

解答 解：根據(jù)“反m倍函數(shù)”的定義，
∵?x∈R，?m∈R（m≠0），都有 f（m+x）=-mf（x）成立，
∴f（m+x）+mf（x）=0成立，
①若f（x）=1，則f（x+m）+mf（x）=0，∴m+1=0，即m=-1，故①正確，
②若f（x）=sinπx，則f（1+x）+f（x）=sinπ（x+1）+sinπx=-sinπx+sinπx=0，故②正確，
③若f（x）=x²，則（x+m）²+mx²=0，即（m+1）x²+2mx+m²=0，
則$\left\{\begin{array}{l}{m+1=0}\\{m=0}\end{array}\right.$，此時(shí)方程無解，故不存在m，故③錯(cuò)誤．
④若f（x+2）+2f（x）=0，取x=0，若f（2），f（0）有一個(gè)為0即正確，若都不為0，則f（2），f（0）互為相反數(shù)，
則f（2）f（0）＜0，∴在區(qū)間（0，2）內(nèi)一定有零點(diǎn)，故④正確，
故正確的是①②④，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，根據(jù)抽象函數(shù)的表達(dá)式結(jié)合“反m倍函數(shù)”的定義是解決本題的關(guān)鍵．