Question

14．已知函數(shù)f（x）=（x-1）e^-x．
（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若對(duì)?x∈[0，+∞），都有f（x）≤$\frac{1}{{c}^{2}}$，求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若對(duì)?x∈[0，+∞），都有f（x）≤$\frac{1}{{c}^{2}}$，求出函數(shù)f（x）的最大值，可得不等式，即可求實(shí)數(shù)c的取值范圍．

解答 解：（I）$f'（x）=\frac{2-x}{e^x}$，…（2分）
由f'（x）＞0，得x＜2；由f'（x）＜0，得x＞2，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，2），單調(diào)遞減區(qū)間為（2，+∞）．…（6分）
（II）由（I）知，f（x）在區(qū)間（0，2）單調(diào)遞增，在區(qū)間（2，+∞）單調(diào)遞減，…（8分）
∴$f{（x）_{max}}=f（2）=\frac{1}{e^2}$，…（10分）
∴$\frac{1}{e^2}≤\frac{1}{c^2}$，c²≤e²且c≠0，
∴實(shí)數(shù)c的取值范圍為-e≤c≤e且c≠0．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性的判斷，同時(shí)考查函數(shù)的最大值，考查恒成立問題，屬于中檔題．