Question

10．函數(shù)f（x）=（sinωx+cosωx）²+2$\sqrt{3}$cos²ωx（ω＞0）的最小正周期為$\frac{2π}{3}$．
（1）求ω；
（2）若函數(shù)y=g（x）的圖象是由y=f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{2}$個(gè)單位長度得到，求函數(shù)y=g（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析 由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）+1$+\sqrt{3}$，（1）由題意和周期公式可得$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{2π}{3}$，解方程可得；
（2）由圖象變換可得y=g（x）=2sin（3x-$\frac{7π}{6}$）+1$+\sqrt{3}$，解不等式2kπ-$\frac{π}{2}$≤3x-$\frac{7π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：由三角函數(shù)公式化簡可得f（x）=（sinωx+cosωx）²+2$\sqrt{3}$cos²ωx
=sin²ωx+cos²ωx+2sinωxcosωx+2$\sqrt{3}$cos²ωx
=1+2sinωxcosωx+2$\sqrt{3}$cos²ωx
=1+sin2ωx+2$\sqrt{3}$•$\frac{1+cos2ωx}{2}$
=sin2ωx+$\sqrt{3}$cos2ωx+1$+\sqrt{3}$
=2（$\frac{1}{2}$sin2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2ωx）+1$+\sqrt{3}$
=2sin（2ωx+$\frac{π}{3}$）+1$+\sqrt{3}$；
（1）由題意和周期公式可得$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{2π}{3}$，解得ω=$\frac{3}{2}$；
（2）由（1）可知f（x）=2sin（3x+$\frac{π}{3}$）+1$+\sqrt{3}$，
由圖象變換可得y=g（x）=2sin[3（x-$\frac{π}{2}$）+$\frac{π}{3}$]+1$+\sqrt{3}$
=2sin（3x-$\frac{7π}{6}$）+1$+\sqrt{3}$，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤3x-$\frac{7π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{2π}{9}$≤x≤$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{5π}{9}$，
∴函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{2π}{9}$，$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{5π}{9}$]（k∈Z）．

點(diǎn)評 本題考查三角恒等變換，涉及函數(shù)的周期性和單調(diào)性，化解析式為最簡是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．