Question

12．若函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ），其中$ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}，x∈R$，兩相鄰對稱軸的距離為$\frac{π}{2}$，$f（{\frac{π}{6}}）$為最大值，則函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，π]上的單調(diào)增區(qū)間為（　�。�

• A． $[{0，\frac{π}{6}}]$
• B． $[{\frac{2π}{3}，π}]$
• C． $[{0，\frac{π}{6}}]$和$[{\frac{π}{3}，π}]$
• D． $[{0，\frac{π}{6}}]$和$[{\frac{2π}{3}，π}]$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，求出函數(shù)f（x）的函數(shù)解析式，再求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，π]上的單調(diào)增區(qū)間即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）相鄰對稱軸的距離為$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}$，解得T=π，∴ω=2；
又$f（{\frac{π}{6}}）$為最大值，
令2×$\frac{π}{6}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得φ=$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
∴取φ=$\frac{π}{6}$，
∴函數(shù)f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
當(dāng)k=0時，x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，當(dāng)k=1時，x∈[$\frac{2π}{3}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴f（x）在區(qū)間[0，π]上的單調(diào)增區(qū)間為[0，$\frac{π}{6}$]和[$\frac{2π}{3}$，π]．
故選：D．

點評 本題考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．