Question

20．對于函數(shù)y=f（x），若存在定義域D內(nèi)某個區(qū)間[a，b]，使得y=f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，則稱函數(shù)y=f（x）在定義域D上封閉，如果函數(shù)f（x）=$\frac{kx}{1+{x}^{2}}$（k≠0）在R上封閉，那么實數(shù)k的取值范圍是（-∞，-1）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 分類討論，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，即可求出k的取值范圍．

解答 解：①x=0時，f（x）=0，
②由于f（x）為R上的奇函數(shù)，不妨先討論x＞0時的性質(zhì)，
當x＞0時，f（x）=$\frac{kx}{1+{x}^{2}}$=$\frac{k}{x+\frac{1}{x}}$≤$\frac{k}{2}$，
當k＞0，易知此時f（x）的值域為（0，$\frac{k}{2}$），而f（x）為奇函數(shù)，故f（x）的值域為（-$\frac{k}{2}$，$\frac{k}{2}$）；
觀察f（x）單調(diào)性，得到f（x）為R上增函數(shù)，
故此時f（x）有如下性質(zhì)，即在R上單調(diào)增，且值域為（-$\frac{k}{2}$，$\frac{k}{2}$），
而由封閉函數(shù)的定義可知，f（a）=a且f（b）=b，則a，b為關于x的方程kx=x（1+x²）的兩個不等實根，
而x≠0，故k=1+x²∈（1，+∞），
當k＜0時，則-k＞0，則由上討論知，-k=1+x²∈（1，+∞），故此時k∈（-∞，-1），
綜上可知，k∈（-∞，-1）∪（1，+∞），
故答案為：（-∞，-1）∪（1，+∞）．

點評 考查根據(jù)函數(shù)解析式求函數(shù)的定義域，單調(diào)性，和利用單調(diào)性求函數(shù)的值域，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和方程的思想方法，屬中檔題．