Question

12．點(diǎn)P（x₀，y₀）是曲線C：x=e^-|x|（x≠0）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，曲線C在點(diǎn)P處的切線與x軸、y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則△AOB面積的最大值為（　�。�

• A． $\frac{2}{e}$
• B． $\frac{4}{e}$
• C． $\sqrt{e}$
• D． 2$\sqrt{e}$

Answer 1

分析 由函數(shù)為偶函數(shù)，可設(shè)y=e^-x（x＞0），求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線方程，令x=0，y=0可得y．x軸的截距，再由三角形的面積公式，再求導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，可得x₀=1處取得極大值，也為最大值，可得結(jié)論．

解答 解：可設(shè)y=e^-x（x＞0），
y′=-e^-x，
曲線C在點(diǎn)P處的切線斜率為k=-${e}^{-{x}_{0}}$，
即有曲線C在點(diǎn)P處的切線方程為y-${e}^{-{x}_{0}}$=-${e}^{-{x}_{0}}$（x-x₀），
可令y=0，則x=x₀+1，
令x=0，可得y=（x₀+1）${e}^{-{x}_{0}}$，
即有△AOB面積S=$\frac{1}{2}$=（x₀+1）²${e}^{-{x}_{0}}$，
S′=[2（x₀+1）-（x₀+1）²]${e}^{-{x}_{0}}$=（1+x₀）（1-x₀）${e}^{-{x}_{0}}$，
當(dāng)0＜x₀＜1時(shí)，S′＞0，當(dāng)x₀＞1時(shí)，S′＜0，
即有x₀=1處取得極大值，也為最大值$\frac{2}{e}$．
則△AOB面積的最大值為$\frac{2}{e}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，同時(shí)考查三角形的面積的最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．