Question

20．如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，側(cè)棱
SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=1，AD=$\frac{1}{2}$．
（1）求四棱錐S-ABCD的體積；
（2）求面SCD與面SAB所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）四棱錐S-ABCD的體積=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（AD+BC）×AB×SA$；
（2）以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面SCD的法向量，利用向量的夾角公式求面SCD與面SAB所成二面角的余弦值．

解答 解：（1）∵底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，側(cè)棱SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=1，AD=$\frac{1}{2}$，
∴四棱錐S-ABCD的體積=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（AD+BC）×AB×SA$=$\frac{1}{4}$；
（2）以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則
A（0，0，0），B（0，1，0），C（1，1，0），D（0.5，0，0，），S（0，0，1），
則$\overrightarrow{SC}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{SD}$=（0.5，0，-1）．
設(shè)平面SCD的法向量是$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{x+y-z=0}\\{0.5x-z=0}\end{array}\right.$
令z=1，則x=2，y=-1．于是$\overrightarrow{n}$=（2，-1，1）．
設(shè)平面SCD與平面SAB所成的二面角為α，
∵$\overrightarrow{AD}$=（0.5，0，0），∴|cosα|=$\frac{1}{0.5×\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$
∴平面SCD與平面SAB所成二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查四棱錐S-ABCD的體積、平面SCD與平面SAB所成二面角的余弦值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確求平面SCD的法向量是關(guān)鍵．