Question

4．已知雙曲線中心在原點且一個焦點為F₁$（-\sqrt{5}{，^{\;}}0）$，點P位于該雙曲線上，線段PF₁的中點坐標為（0，2），則雙曲線的方程為（　�。�

• A． $\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1
• B． ${x^2}-\frac{y^2}{4}=1$
• C． $\frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{3}=1$
• D． $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{2}=1$

Answer 1

分析 設(shè)出雙曲線的方程，據(jù)雙曲線的焦點坐標列出三參數(shù)滿足的一個等式；利用中點坐標公式求出P的坐標，將其坐標代入雙曲線的方程，求出三參數(shù)的另一個等式，解兩個方程得到參數(shù)的值．

解答 解：據(jù)已知條件中的焦點坐標判斷出焦點在x軸上，
∵一個焦點為F₁$（-\sqrt{5}{，^{\;}}0）$，
∴a²+b²=5①
∵線段PF₁的中點坐標為（0，2），
∴P的坐標為（$\sqrt{5}$，4）將其代入雙曲線的方程得$\frac{5}{{a}^{2}}-\frac{16}{^{2}}$=1②
解①②得a²=1，b²=4，
所以雙曲線的方程為${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
故選：B．

點評 求圓錐曲線常用的方法：待定系數(shù)法、注意雙曲線中三參數(shù)的關(guān)系為：c²=b²+a²．