Question

9．雙曲線$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1（a＞0）的離心率為$\sqrt{5}$，拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)在雙曲線的頂點(diǎn)上．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過M（-1，0）的直線l與拋物線C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，有過E，F(xiàn)作拋物線C的切線l₁、l₂，當(dāng)l₁⊥l₂時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用雙曲線$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1（a＞0）的離心率為$\sqrt{5}$，求出a，即可求拋物線C的方程；
（2）利用過E，F(xiàn)作拋物線C的切線l₁、l₂，l₁⊥l₂，求出x₁x₂=-4，設(shè)出直線方程，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理求直線l的方程．

解答 解：（1）∵雙曲線$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1（a＞0）的離心率為$\sqrt{5}$，
∴$\frac{{a}^{2}+4}{{a}^{2}}$=5，
∵a＞0，
∴a=1，
∵拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)在雙曲線的頂點(diǎn)，
∴$\frac{p}{2}$=1，
∴p=2，
∴拋物線C的方程x²=4y；
（2）設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）（x₁≠x₂）．
由x²=4y，可得y′=$\frac{1}{2}x$，
∵過E，F(xiàn)作拋物線C的切線l₁、l₂，l₁⊥l₂，
∴$\frac{1}{2}{x}_{1}•\frac{1}{2}{x}_{2}$=-1，
∴x₁x₂=-4．
設(shè)過M（-1，0）的直線l的方程為y=k（x+1），
代入x²=4y，可得x²-4kx-4k=0，
∴x₁x₂=-4k
∴-4k=-4，
∴k=1，
∴直線l的方程為y=x+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．