【題目】已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且b=acosc+ csinA.
(1)求角A的大;
(2)當(dāng)a=3時(shí),求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍.
【答案】
(1)解:由 及正弦定理得, ,
∵B=π﹣(A+C),
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∵C∈(0,π),
∴sinC≠0,
∴
易知cosA≠0,
∴ ,
∵A∈(0,π)
∴ .
(2)解:由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA,得9=b2+c2﹣bc
∵b2+c2≥2bc,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí),“=”成立,…(8分)
∴9=b2+c2﹣bc≥bc,即bc≤9,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=3時(shí),“=”成立,
又由9=b2+c2﹣bc=(b+c)2﹣3bc,得(b+c)2=9+3bc≤36,
∴b+c≤6,
∵b+c>3,
∴6<a+b+c≤9
∴求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍(6,9].
【解析】(1)由已知及正弦定理,三角形內(nèi)角和定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,可得 ,
又sinC≠0,可求 ,結(jié)合范圍A∈(0,π),即可求得A的值.(2)由余弦定理得9=b2+c2﹣bc,利用基本不等式可求bc≤9,又由9=b2+c2﹣bc=(b+c)2﹣3bc,得b+c≤6,又b+c>3,可得范圍6<a+b+c≤9.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了正弦定理的定義和余弦定理的定義的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握正弦定理:;余弦定理:;;才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)= .
(1)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)﹣1,求函數(shù)g(x)的零點(diǎn);
(2)若函數(shù)f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4),且0<x1<x2<x3<x4≤10,求 的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[選修4—5:不等式選講]
已知函數(shù)f(x)=–x2+ax+4,g(x)=│x+1│+│x–1│.
(1)當(dāng)a=1時(shí),求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[–1,1],求a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,平面四邊形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AD⊥ED,AF∥DE,AB∥CD,CD=2AB=2AD=2ED=xAF.
(Ⅰ)若四點(diǎn)F、B、C、E共面,AB=a,求x的值;
(Ⅱ)求證:平面CBE⊥平面EDB;
(Ⅲ)當(dāng)x=2時(shí),求二面角F﹣EB﹣C的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,設(shè)F(x)=x2f(x),則F(x)是( )
A.奇函數(shù),在(﹣∞,+∞)上單調(diào)遞減
B.奇函數(shù),在(﹣∞,+∞)上單調(diào)遞增
C.偶函數(shù),在(﹣∞,0)上遞減,在(0,+∞)上遞增
D.偶函數(shù),在(﹣∞,0)上遞增,在(0,+∞)上遞減
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知平面向量 , ( ≠ )滿足 =2,且 與 ﹣ 的夾角為120° , t∈R,則|(1﹣t) +t |的最小值是 . 已知 =0,向量 滿足( ﹣ )( ﹣ )=0,| ﹣ |=5,| ﹣ |=3,則 的最大值為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知 = .
(1)求角C的大。
(2)若c=2,求△ABC面積最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=2x﹣cosx,{an}是公差為 的等差數(shù)列,f(a1)+f(a2)+…+f(a5)=5π,則[f(a3)]2﹣a1a5= .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若a,b在區(qū)間(0,1)內(nèi),則橢圓 =1(a>b>0)與直線l:x+y=1在第一象限內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)的概率為 .
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