【題目】如圖所示,平面四邊形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AD⊥ED,AF∥DE,AB∥CD,CD=2AB=2AD=2ED=xAF.
(Ⅰ)若四點(diǎn)F、B、C、E共面,AB=a,求x的值;
(Ⅱ)求證:平面CBE⊥平面EDB;
(Ⅲ)當(dāng)x=2時,求二面角F﹣EB﹣C的大。
【答案】證明:(Ⅰ)∵AF∥DE,AB∥CD,AF∩AB=A,DE∩DC=D,
∴平面ABF∥平面DCE,
∵平面ADEF⊥平面ABCD,
∴FB∥CE,∴△ABF~△DCE,
∵AB=a,∴ED=a,CD=2a,AF= ,由相似比得 ,即 ,得x=4
(Ⅱ)連接BD,設(shè)AB=1,則AB=AD=1,CD=2,可得BD= ,取CD的中點(diǎn)M,則MD與AB平行且相等,
則△BMD為等腰直角三角形,則BC=BD= ,
∵BD2+BC2=CD2 ,
∴BC⊥BD.
∵平面四邊形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直,平面ADEF∩平面ABCD=AD,ED⊥AD,
∴ED⊥平面ABCD,BC⊥DE,
又∵ED∩BD=D,
∴BC⊥平面BDE.
又∵BC平面BCE,
∴平面BDE⊥平面BEC.
( III)建立空間坐標(biāo)系如圖:設(shè)AB=1,
∵x=2,∴CD=2,
則F(1,0,1),B(1,1,0),E(0,0,1),C(0,2,0),
=(1,0,0), =(1,1,﹣1), =(0,2,﹣1),
設(shè)平面EF的一個法向量為 =(x,y,z),
則由 得 ,則取 =(0,1,1),
設(shè)平面EBC的法向量為 =(x,y,z),
則 ,得 ,令y=1,則z=2,x=1,即 =(1,1,2),
則cos< , >= = = ,
則< , >=30°,
∵二面角F﹣EB﹣C是鈍二面角,
∴二面角F﹣EB﹣C的大小為150°.
【解析】(Ⅰ)根據(jù)四點(diǎn)F、B、C、E共面,以及三角形相似建立方程關(guān)系進(jìn)行求解;(Ⅱ) 根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面BDE⊥平面BEC;(Ⅲ)建立空間坐標(biāo)系,求出平面的法向量,利用向量法即可.
【考點(diǎn)精析】利用直線與平面垂直的判定對題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【2017四川瀘州四診】如圖,平面平面,四邊形是菱形, .
(1)求證: ;
(2)若,且直線與平面所成角為,求二面角的平面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[選修4―4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),直線l的參數(shù)方程為.
(1)若a=1,求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為,求a.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知△ABC的面積為
(1)求sinBsinC;
(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一個口袋有m個白球,n個黑球(m,n ,n 2),這些球除顏色外全部相同,F(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)的逐個取出,并放入如圖所示的編號為1,2,3,……,m+n的抽屜內(nèi),其中第k次取球放入編號為k的抽屜(k=1,2,3,……,m+n).
(1)試求編號為2的抽屜內(nèi)放的是黑球的概率p;
(2)隨機(jī)變量x表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數(shù),E(x)是x的數(shù)學(xué)期望,證明
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在極坐標(biāo)系中,直線的方程為: ,直線的方程為.
(Ⅰ)寫出曲線的直角坐標(biāo)方程,并指出它是何種曲線;
(Ⅱ)設(shè)與曲線交于兩點(diǎn), 與曲線交于兩點(diǎn),求四邊形面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且b=acosc+ csinA.
(1)求角A的大小;
(2)當(dāng)a=3時,求△ABC周長的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)橢圓E: =1(a>b>0),其中b= a,F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn),P(1,1)為橢圓E內(nèi)一點(diǎn),PF⊥x軸.
(1)求橢圓E的方程;
(2)過P點(diǎn)作斜率為k1 , k2的兩條直線分別與橢圓交于點(diǎn)A,C和B,D.若滿足|AP||PC|=|BP||DP|,問k1+k2是否為定值?若是,請求出此定值;若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù).若對于任意,都有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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