Question

19．在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=2，若$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{6}\overrightarrow{AD}$$+\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}$，則|$\overrightarrow{BC}$+t$\overrightarrow{PB}$|（t∈R）的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{\sqrt{5}}{5}$，+∞）
• B． [$\sqrt{2}$，+∞）
• C． [$\frac{\sqrt{5}}{5}$，1]
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 先建立坐標(biāo)系，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，根據(jù)向量的模的計(jì)算得到|$\overrightarrow{BC}$+t$\overrightarrow{PB}$|²=$\frac{5}{36}$t²-t+2，構(gòu)造函數(shù)f（t）=$\frac{5}{36}$t²-t+2，求出函數(shù)最值即可．

解答 解：以A點(diǎn)為原點(diǎn)，以直線AB為x軸，直線AD為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
則A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（1，1）
∴$\overrightarrow{AD}$=（0，1），$\overrightarrow{AB}$=（2，0），$\overrightarrow{BC}$=（-1，1）
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
則$\overrightarrow{AP}$=（x，y），
∵$\overrightarrow{AP}$=$\frac{1}{6}\overrightarrow{AD}$$+\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}$，
∴（x，y）=$\frac{1}{6}$（0，1）+$\frac{5}{6}$（2，0）=（$\frac{5}{3}$，$\frac{1}{6}$），
∴$\overrightarrow{PB}$=（$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{6}$），
∴$\overrightarrow{BC}$+t$\overrightarrow{PB}$=（$\frac{t}{3}$-1，1-$\frac{t}{6}$），
∴|$\overrightarrow{BC}$+t$\overrightarrow{PB}$|²=（$\frac{t}{3}$-1）²+（1-$\frac{t}{6}$）²=$\frac{5}{36}$t²-t+2，
設(shè)f（t）=$\frac{5}{36}$t²-t+2，則對(duì)稱軸為t=$\frac{18}{5}$，
當(dāng)t=$\frac{18}{5}$時(shí)，f（t）_min=f（$\frac{18}{5}$）=$\frac{1}{5}$，
∴|$\overrightarrow{BC}$+t$\overrightarrow{PB}$|（t∈R）的取值范圍是為[$\frac{\sqrt{5}}{5}$，+∞）
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及二次函數(shù)的最值問題，屬于中檔題．