Question

若F₁、F₂分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，|F1F2|=2

3

，AB是過(guò)F₁的一條弦，△ABF₂周長(zhǎng)為8．
?①求出這個(gè)橢圓的方程；
?②是否存在過(guò)定點(diǎn)P（0，2）的直線l與橢圓交于不同兩點(diǎn)M、N，使|

OM

+

ON

|=|

OM

-

ON

|（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在求出直線l斜率k，若不存在請(qǐng)說(shuō)明．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：①由橢圓的定義可得△ABF₂周長(zhǎng)為4a，再利用2c=2

3

及其a²=b²+c²即可得出；
②假設(shè)存在過(guò)定點(diǎn)P（0，2）的直線l與橢圓交于不同兩點(diǎn)M、N，使|

OM

+

ON

|=|

OM

-

ON

|．可知：

OM

⊥

ON

，得到

OM

•

ON

=0．設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線l的方程為：y=kx+2．與橢圓的方程聯(lián)立化為關(guān)于x的一元二次方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答： 解：①由橢圓的焦距|F1F2|=2

3

，AB是過(guò)F₁的一條弦，△ABF₂周長(zhǎng)為8．
∴

2c=2 3 a2=b2+c2 4a=8

，解得a=2，b=1，c=

3

．
∴橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．
②假設(shè)存在過(guò)定點(diǎn)P（0，2）的直線l與橢圓交于不同兩點(diǎn)M、N，使|

OM

+

ON

|=|

OM

-

ON

|．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線l的方程為：y=kx+2．
聯(lián)立

y=kx+2 x2+4y2=4

，化為（1+4k²）x²+16kx+12=0，
則△=256k²-48（1+4k²）＞0，化為k2＞

3

4

，解得k＞

3

2

或k＜-

3

2

（*）．
∴x1+x2=-

16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

．
∵|

OM

+

ON

|=|

OM

-

ON

|，∴

OM

⊥

ON

，
∴

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=

12(1+k2)

1+4k2

-

32k2

1+4k2

+4=0，k²=4．
解得k=±2．滿足△＞0．
故存在直線l滿足條件，其斜率k=±2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的定義及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立化為關(guān)于x的一元二次方程及其根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．