13.設(shè)函數(shù)f(x)=|x+1|-|2x-a|
(Ⅰ)當(dāng)a=2,解不等式f(x)<0
(Ⅱ)若a>0,且對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x,都有f(x)≤3,求a的取值范圍.

分析 (Ⅰ)將a=2代入,不等式兩邊平方,解出即可;(Ⅱ)通過(guò)討論x的范圍,得到f(x)的分段函數(shù),求出f(x)的最大值,從而求出a的范圍即可.

解答 解:(Ⅰ)a=2時(shí),原不等式為:|x+1|-|2x-2|<0,
即|x+1|<|2x-2|,平方:(x+1)2<(2x-2)2,
化簡(jiǎn)得:(3x-1)(x-3)>0,解得:x<$\frac{1}{3}$或x>3,
故解集為:{x|x<$\frac{1}{3}$或x>3};
(Ⅱ)∵a>0,∴$\frac{a}{2}$>0,
∴原函數(shù)可化為:
f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{-(x+1)+(2x-a),x≤-1}\\{(x+1)+(2x-a),-1<x≤\frac{a}{2}}\\{(x+1)-(2x-a),x>\frac{a}{2}}\end{array}\right.$,
即f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{x-1-a,x≤-1}\\{3x+1-a,-1<x≤\frac{a}{2}}\\{-x+1+a,x>\frac{a}{2}}\end{array}\right.$,
∴f(x)max=f($\frac{a}{2}$)=$\frac{a}{2}$+1,
∴$\frac{a}{2}$+1≤3,解得:a≤4,
綜上,a的范圍是(0,4].

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題,考查分類(lèi)討論思想,是一道中檔題.

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