Question

20．已知數(shù)列{a_n}滿足：${a}_{1}=\frac{1}{2}，\frac{3（1+{a}_{n+1}）}{1-{a}_{n}}=\frac{2（1+{a}_{n}）}{1-{a}_{n+1}}$，a_na_n+1＜0（n≥1），數(shù)列{b_n}滿足：b_n=a_n+1²-a_n²（n≥1）．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）在數(shù)列{b_n}中是否存在不同的三項依次成等差數(shù)列，若存在，求出此三項；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先利用設(shè)${c}_{n}=1-{{a}_{n}}^{2}$，整理出${c}_{n+1}=\frac{2}{3}{c}_{n}$，進(jìn)一步求出數(shù)列${c}_{n}=\frac{3}{4}{（\frac{2}{3}）}^{n-1}$最后確定${a}_{n}={（-1）}^{n-1}\sqrt{1-\frac{3}{4}{（\frac{2}{3}）}^{n-1}}$，進(jìn)一步利用${a}_{n}={（-1）}^{n-1}\sqrt{1-\frac{3}{4}{（\frac{2}{3}）}^{n-1}}$和b_n=a_n+1²-a_n²（n≥1）求出數(shù)列$_{n}=\frac{1}{4}{（\frac{2}{3}）}^{n-1}$．
（2）假設(shè)存在三項存在等差數(shù)列，利用數(shù)據(jù)左邊是奇數(shù)，右邊是偶數(shù)求出矛盾，最后確定結(jié)論不成立．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}滿足：${a}_{1}=\frac{1}{2}，\frac{3（1+{a}_{n+1}）}{1-{a}_{n}}=\frac{2（1+{a}_{n}）}{1-{a}_{n+1}}$，
則：設(shè)${c}_{n}=1-{{a}_{n}}^{2}$，
則：${c}_{n+1}=\frac{2}{3}{c}_{n}$，
當(dāng)n=1時，${c}_{1}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，
所以{c_n}是以${c}_{1}=\frac{3}{4}$為首項，$\frac{2}{3}$為公比的等比數(shù)列．
則：${c}_{n}=\frac{3}{4}（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
由于：${a}_{1}=\frac{1}{2}＞0$a_na_n+1＜0（n≥1），
所以：${a}_{n}=（-1）^{n-1}\sqrt{1-\frac{3}{4}（\frac{2}{3}）^{n-1}}$，
數(shù)列{b_n}滿足：b_n=a_n+1²-a_n²（n≥1）
所以：$_{n}=1-\frac{3}{4}（\frac{2}{3}）^{n}-1+$$\frac{3}{4}（\frac{2}{3}）^{n-1}$=$\frac{1}{4}（\frac{2}{3}）^{n-1}$．
（2）假設(shè)數(shù)列{b_n}存在三項b_r，b_s，b_t（r＜s＜t）按某種順序成等差數(shù)列．
則：由于數(shù)列{b_n}是以$\frac{1}{4}$為首項，$\frac{2}{3}$為公比的等比數(shù)列，
所以：可能2b_s=b_r+b_t，
則：$2•\frac{1}{4}{（\frac{2}{3}）}^{s-1}$=$\frac{1}{4}{（\frac{2}{3}）}^{r-1}$+$\frac{1}{4}{（\frac{2}{3}）}^{t-1}$，
化簡整理后得到由于r＜s＜t，所以上式左邊是奇數(shù)，右邊為偶數(shù)，所以上式不成立．
在數(shù)列{b_n}中不存在不同的三項依次成等差數(shù)列．

點評 本題考查的知識要點：數(shù)列的遞推式．對于用遞推式確定數(shù)列的通項公式問題，常可把通過把遞推式變形轉(zhuǎn)換成等差或等比數(shù)列．