Question

5．若△ABC外接圓的圓心為O，半徑為4，$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$，則$\overrightarrow{CA}$在$\overrightarrow{CB}$方向上的投影為（　�。�

• A． 1
• B． $\sqrt{7}$
• C． $\sqrt{15}$
• D． 4

Answer 1

分析 如圖所示，利用向量的三角形法則可得：$\overrightarrow{AO}=\frac{2}{3}（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$，取BC的中點D，連接OD并延長到點E，使得$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{OD}$，則OD⊥BC，$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OE}$．可得$\overrightarrow{AO}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OE}=\frac{4}{3}\overrightarrow{OD}$，可得$\overrightarrow{OD}$，CD，可得向量$\overrightarrow{CA}$在$\overrightarrow{CB}$方向上的投影．

解答 解：如圖所示，
∵$\overrightarrow{OA}$+2$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{OA}$+$2（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$+$2（\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}）$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{AO}=\frac{2}{3}（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$，
取BC的中點D，連接OD并延長到點E，使得$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{OD}$，
則OD⊥BC，$\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OE}$．
∴$\overrightarrow{AO}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OE}=\frac{4}{3}\overrightarrow{OD}$，
∴$|\overrightarrow{OD}|$=$\frac{3}{4}|\overrightarrow{AO}|$=3，
∴CD=$\sqrt{O{C}^{2}-O{D}^{2}}$=$\sqrt{7}$．
∴$\overrightarrow{CA}$在$\overrightarrow{CB}$方向上的投影為$\sqrt{7}$，
故選：B．

點評 本題考查了菱形的性質(zhì)、向量的平行四邊形法則、三角形外心的性質(zhì)、向量的投影、勾股定理、向量共線定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．