Question

20．在銳角△ABC中，AC=6，B=2A，則邊BC的取值范圍是$（2\sqrt{3}，3\sqrt{2}）$．．

Answer 1

分析 根據(jù)三角形為銳角三角形，解不等式得$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{4}$．再由正弦定理，得BC=$\frac{3}{cosA}$，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性加以計(jì)算，即可得到BC的取值范圍．

解答 解：∵銳角△ABC中，B=2A，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{0＜A＜\frac{π}{2}}{0＜2A＜\frac{π}{2}}}\\{0＜π-3A＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，解之得$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{4}$，
∵AC=1，且 $\frac{AC}{sinB}$=$\frac{BC}{sinA}$，
∴BC=$\frac{ACsinA}{sinB}$=6•$\frac{sinA}{sin2A}$=$\frac{3}{cosA}$，
∵$\frac{π}{6}$＜A＜$\frac{π}{4}$，得$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜cosA＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴2$\sqrt{3}＜$$\frac{3}{cosA}$＜3$\sqrt{2}$，得BC=$\frac{3}{cosA}$∈（2$\sqrt{3}$，3$\sqrt{2}$），
故答案為：$（2\sqrt{3}，3\sqrt{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題給出銳角三角形的一個(gè)角是另一角的二倍，求邊BC的取值范圍，著重考查了三角形內(nèi)角和定理和利用正、余弦定理解三角形等知識(shí)，屬于中檔題．