Question

11．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為$\sqrt{3}$，在正方體表面上與點(diǎn)A距離是2的點(diǎn)形成一條封閉的曲線，這條曲線的長度是（　　）

• A． π
• B． $\frac{3}{2}π$
• C． 3π
• D． $\frac{5}{2}π$

Answer 1

分析 本題首先要弄清楚曲線的形狀，再根據(jù)曲線的性質(zhì)及解析幾何知識即可求出長度．

解答 解：此問題的實(shí)質(zhì)是以A為球心，以2為半徑的在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁各個(gè)面上交線的長度計(jì)算，正方體的各個(gè)面根據(jù)與球心位置關(guān)系分成兩類：ABCD、AA₁DD₁、AA₁BB₁為過球心的截面，截痕為大圓弧，各弧圓心角為$\frac{π}{6}$，A₁B₁C₁D₁、B₁BCC₁、D₁DCC₁為與球心距離為1的截面，截痕為小圓弧，由于截面圓半徑為
r=1，故各段弧圓心角為 $\frac{π}{2}$，∴這條曲線長度為$l=3×\frac{π}{6}×2+3×\frac{π}{2}×1=\frac{5π}{2}$，

∴故答案為：D．

點(diǎn)評 本題考查弧長公式的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)觀察，避免出錯(cuò)，弧長公式；棱柱的結(jié)構(gòu)特征．