Question

14．在△ABC中，∠A，∠B，∠C對應的邊分別是a，b，c，且4cosC•sin²$\frac{C}{2}$+cos2C=0
（1）求∠C的大�。�
（2）若函數(shù)f（x）=sin（2x-C），求f（x）的單調(diào)區(qū)別；
（3）若3ab=25-c²，求△ABC面積的最大值并判斷此時△ABC的形狀．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二倍角公式的變形化簡已知的式子，再由內(nèi)角的范圍求出角C的值；
（2）由（1）求出函數(shù)f（x），根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和整體思想求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）由余弦定理可得c²=a²+b²-ab，代入3ab=25-c²化簡后利用基本不等式求出ab的范圍，代入三角形的面積公式求出最大值，并判斷出三角形的形狀．

解答 解：（1）由題意得，4cosC•sin²$\frac{C}{2}$+cos2C=0，∴2cosC（1-cosC）+cos2C=0，
∴2cosC-2cos²C+2cos²C-1=0，則cosC=$\frac{1}{2}$，
∵0＜C＜π，∴C=$\frac{π}{3}$；
（2）由（1）知，f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$），
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ（k∈Z）$得，$-\frac{π}{12}+kπ≤x≤\frac{5π}{12}+kπ（k∈Z）$，
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ（k∈Z）$得，$\frac{5π}{12}+kπ≤x≤\frac{11π}{12}+kπ（k∈Z）$，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是$[-\frac{π}{12}+kπ，\frac{5π}{12}+kπ]$，減區(qū)間是$[\frac{5π}{12}+kπ，\frac{11π}{12}+kπ]（k∈Z）$；
（3）由余弦定理得，c²=a²+b²-2abcosC，
即c²=a²+b²-ab，
∵3ab=25-c²，∴a²+b²=25-2ab，
則a²+b²=25-2ab≥2ab，解得ab≤$\frac{25}{4}$（當且僅當a=b時取等號），
∴△ABC面積S=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{\sqrt{3}}{4}ab$≤$\frac{25\sqrt{3}}{16}$，
則當a=b時△ABC面積最大，且最大值是$\frac{25\sqrt{3}}{16}$，
此時△ABC是等邊三角形．

點評 本題考查了余弦定理，三角形的面積公式，二倍角公式的變形，正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及基本不等式求最值，比較綜合，屬于中檔題．