Question

3．過拋物線L：x²=2py（p＞0）的焦點F且斜率為$\frac{3}{4}$的直線與拋物線L在第一象限的交點為P，且|PF|=5
（1）求拋物線L的方程；
（2）設(shè)直線l：y=kx+m與拋物線L交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點．
（ⅰ）若k=2，線段AB的垂直平分線分別交y軸和拋物線L于M，N兩點，（M，N位于直線l兩側(cè)），當(dāng)四邊形AMBN為菱形時，求直線l的方程；
（ⅱ）若直線l過點，且交x軸于點C，且$\overrightarrow{CA}$=a$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{CB}$=b$\overrightarrow{BF}$，對任意的直線l，a+b是否為定值？若是，求出a+b的值，若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （1）過P作PA⊥y軸于點A，則cos$∠AFP=\frac{3}{5}$，由拋物線的定義得$\frac{p}{2}+（3+\frac{p}{2}）=5$，由此能求出拋物線方程．
（2）（i）直線l的方程為y=2x+m，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=2x+m}\end{array}\right.$，得x²-8x-4m=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、中點坐標(biāo)公式，結(jié)合已知條件能求出直線l的方程．
（ii）由題意直線l的方程為y=kx+1，l與x軸交點為C（-$\frac{1}{k}$，0），由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得x²-4kx-4=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、向量知識，結(jié)合已知條件能求出對任意的直線l，a+b為定值-1．

解答 解：（1）設(shè)P（x₀，y₀），過P作PA⊥y軸于點A，
∵直線PF的斜率為$\frac{3}{4}$，∴cos$∠AFP=\frac{3}{5}$，
∵|PF|=5，∴|AF|=3，即${y}_{0}=3+\frac{p}{2}$，
由拋物線的定義得$\frac{p}{2}+（3+\frac{p}{2}）=5$，解得p=2，
∴拋物線方程為x²=4y．
（2）（i）直線l的方程為y=2x+m，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=2x+m}\end{array}\right.$，消y得x²-8x-4m=0，
令△=64+16m＞0，解得m＞-4，
∴x₁+x₂=8，x₁x₂=-4m，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=4，\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}=8+m$，
∴AB的中點坐標(biāo)為Q（4，8+m），
∴AB的垂直平分線方程為y=-（8+m）=-$\frac{1}{2}$（x-4），
∴M（0，m+10），
∵四邊形AMBN在菱形，M，N關(guān)于Q（4，8+m）對稱，
∴N點坐標(biāo)為N（8，m+6），且N點在拋物線上，
∴64=4（m+6），即m=10．
∴直線l的方程為y=2x+10．
（ii）由題意直線l的斜率一定不為0，其方程為y=kx+1，
則直線l與x軸交點為C（-$\frac{1}{k}$，0），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得x²-4kx-4=0，
∴△=（4k）²-（-16）=16（k²+1）＞0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
由$\overrightarrow{CA}=a\overrightarrow{AF}$，得（${x}_{1}+\frac{1}{k}$，y₁）=a（-x₁，1-y₁），
∴$a=\frac{{y}_{1}}{1-{y}_{1}}$=-$\frac{k{x}_{1}+1}{k{x}_{1}}$，
同理，得b=-$\frac{k{x}_{2}+1}{k{x}_{2}}$，
∴a+b=-（$\frac{k{x}_{1}+1}{k{x}_{1}}$+$\frac{k{x}_{2}+1}{k{x}_{2}}$）=-（2+$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{k{x}_{1}{x}_{2}}$）=-1，
∴對任意的直線l，a+b為定值-1．

點評 本題考查拋物線方程、直線方程的求法，考查代數(shù)式的值為定值的判斷與證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、中點坐標(biāo)公式、橢圓性質(zhì)的合理運用．