Question

9．設(shè)關(guān)于x的實系數(shù)不等式（ax+3）（x²-b）≤0對任意x∈[0，+∞）恒成立，則a²b=9．

Answer 1

分析 利用換元法設(shè)f（x）=ax+3，g（x）=x²-b，根據(jù)一元一次函數(shù)和一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行判斷求解即可．

解答 解：∵（ax+3）（x²-b）≤0對任意x∈[0，+∞）恒成立，
∴當x=0時，不等式等價為-3b≤0，即b≥0，
當x→+∞時，x²-b＞0，此時ax+3＜0，則a＜0，
設(shè)f（x）=ax+3，g（x）=x²-b，
若b=0，則g（x）=x²＞0，
函數(shù)f（x）=ax+3的零點為x=-$\frac{3}{a}$，則函數(shù)f（x）在（0，-$\frac{3}{a}$）上f（x）＞0，此時不滿足條件；
若a=0，則f（x）=3＞0，而此時x→+∞時，g（x）＞0不滿足條件，故b＞0；
∵函數(shù)f（x）在（0，-$\frac{3}{a}$）上f（x）＞0，則（-$\frac{3}{a}$，+∞））上f（x）＜0，
而g（x）在（0，+∞）上的零點為x=$\sqrt$，且g（x）在（0，$\sqrt$）上g（x）＜0，
則（$\sqrt$，+∞）上g（x）＞0，
∴要使（ax+3）（x²-b）≤0對任意x∈[0，+∞）恒成立，
則函數(shù)f（x）與g（x）的零點相同，即-$\frac{3}{a}$=$\sqrt$，
∴a²b=9．
故答案為：9．

點評 本題考查了不等式恒成立以及分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想及運算求解能力，解題時應(yīng)根據(jù)一元一次函數(shù)和一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得到兩個函數(shù)的零點相同，是較難的題目．