Question

12．兩平行平面截半徑為13的球O所得兩截面圓分別記為⊙O₁、⊙O₂，若⊙O₁、⊙O₂的面積分別為25π、144π，則|O₁O₂|=7或17．

Answer 1

分析 先根據(jù)兩個截面圓的面積分別求出對應(yīng)圓的半徑，再分析出兩個截面所存在的兩種情況，最后對每一種情況分別求出兩個平行平面的距離即可．

解答 解：設(shè)兩個截面圓的半徑別為r₁，r₂．球心到截面的距離分別為d₁，d₂．
由πr₁²=25π，得r₁=5．
由πr₂²=144π，得r₂=12．
如圖①所示．當(dāng)球的球心在兩個平行平面的外側(cè)時，
這兩個平面間的距離為球心與兩個截面圓的距離之差．
即$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$-$\sqrt{1{3}^{2}-1{2}^{2}}$=7．
如圖②所示．當(dāng)球的球心在兩個平行平面的之間時，
這兩個平面間的距離為球心與兩個截面圓的距離之和．
即d₂+d₁=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$+$\sqrt{1{3}^{2}-1{2}^{2}}$=12+5=17．
故答案為：7或17．

點評 本題主要考查兩個平行平面間的距離計算問題．此題重點考查球中截面圓半徑，球半徑之間的關(guān)系以及空間想象能力和計算能力．本題的易錯點在于只考慮一種情況，從而漏解．