Question

3．已知函數(shù)f（x）=2^x-$\frac{1}{{2}^{|x|}}$．
（Ⅰ）若f（x）=2，求x的值；
（Ⅱ）若2^t•f（2t）+f（t）≥0，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（x）=2便可得到$2={2}^{x}-\frac{1}{{2}^{|x|}}$，可討論x≥0和x＜0這兩種情況，從而可以去絕對(duì)值號(hào)，整理便可求出x的值；
（Ⅱ）先得到${2}^{t}（{2}^{2t}-\frac{1}{{2}^{2|t|}}）+{2}^{t}-\frac{1}{{2}^{|t|}}≥0$，可看出t≤0時(shí)不等式成立，而t＞0時(shí)，便可整理得到（2^2t）²+2^2t-2≥0，可換元2^2t=x，x＞1，并設(shè)g（x）=x²+x-2，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性便可判斷出g（x）＞0在（1，+∞）恒成立，這樣便可得到實(shí)數(shù)t的取值范圍為R．

解答 解：（Ⅰ）若f（x）=2，則：
①x≥0時(shí)，$2={2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}$；
解得${2}^{x}=1+\sqrt{2}$，或$1-\sqrt{2}$（舍去）；
∴$x=lo{g}_{2}（1+\sqrt{2}）$；
②x＜0時(shí)，$2={2}^{x}-\frac{1}{{2}^{-x}}=0$，顯然不成立，這種情況不存在；
∴$x=lo{g}_{2}（1+\sqrt{2}）$；
（Ⅱ）由2^t•f（2t）+f（t）≥0得，${2}^{t}（{2}^{2t}-\frac{1}{{2}^{2|t|}}）+{2}^{t}-\frac{1}{{2}^{|t|}}≥0$；
顯然，t≤0時(shí)，上面不等式恒成立；
若t＞0，上面不等式變成${2}^{t}（{2}^{2t}-\frac{1}{{2}^{2t}}）+{2}^{t}-\frac{1}{{2}^{t}}≥0$；
整理得（2^2t）²+2^2t-2≥0；
設(shè)2^2t=x，x＞1，g（x）=x²+x-2，x＞1；
g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，且g（1）=0；
∴g（x）＞0；
即（2^2t）²+2^2t-2≥0恒成立；
綜上得，實(shí)數(shù)t的取值范圍為R．

點(diǎn)評(píng) 考查含絕對(duì)值函數(shù)的處理方法：去絕對(duì)值號(hào)，指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化，指數(shù)式的運(yùn)算，以及二次函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求值域．