Question

已知定義在（0，+∞）上函數(shù)f（x）對任意正數(shù)m，n都有f（mn）=f（m）+f（n）-

1

2

，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞

1

2

，且f（

1

2

）=0．
（1）求f（2）的值；
（2）解關(guān)于x的不等式：f（x）+f（x+3）＞2．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,其他不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用賦值法，先令m=n=1，求得（1）=

1

2

，再令m=2，n=

1

2

，求得f（2），
（2）先判斷函數(shù)f（x）為增函數(shù)，再題意得到不等式組，解得即可．

解答： 解：（1）∵f（mn）=f（m）+f（n）-

1

2

，
令m=n=1，
則f（1）=f（1）+f（1）-

1

2

，
所以f（1）=

1

2

，
再令m=2，n=

1

2

，
則f（1）=f（2）+f（

1

2

）-

1

2

，
∴f（2）=1
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，則f（x₂）-f（x₁）=f（

x2

x1

）-

1

2

因?yàn)閤₁＜x₂，所以

x2

x1

＞1，
∵x＞1時(shí)，f（x）＞

1

2

，
則f（

x2

x1

）＞

1

2

，
∴f（x₂）＞f（x₁），
所以f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
因?yàn)閒（4）=f（2）+f（2）-

1

2

=

3

2

所以f（x）+f（x+3）=f（x²+3x）+

1

2

＞2．
即f（x²+3x）＞

3

2

=f（4），
所以

x＞0 x+3＞0 x2+3x＞4

，解得x＞1，
故不等式的解集為（1，+∞）

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，根據(jù)抽象函數(shù)，利用賦值法是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．