Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{xlnx}{x+1}$和直線l：y=m（x-1）．
（1）當(dāng)曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線l垂直時，求原點O到直線l的距離；
（2）若對于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x-1）恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′（1）=$\frac{1}{2}$，由曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與直線l垂直求出m=-2，則直線l的方程可求，由點到直線的距離公式得答案；
（Ⅱ）把對于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x-1）恒成立轉(zhuǎn)化為lnx≤m（x-$\frac{1}{x}$），然后構(gòu)造函數(shù)g（x）=lnx-m（x-$\frac{1}{x}$），利用導(dǎo)數(shù)對m≤0和m＞0分類討論求得m的取值范圍．

解答 解：（1）由f（x）=$\frac{xlnx}{x+1}$，得f′（x）=$\frac{x+1+lnx}{（x+1）^{2}}$，
∴f′（1）=$\frac{1}{2}$，于是m=-2，直線l的方程為2x+y-2=0．
原點O到直線l的距離為$\frac{|-2|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（2）對于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x-1）恒成立，即$\frac{xlnx}{x+1}$≤m（x-1）
也就是lnx≤m（x-$\frac{1}{x}$），
設(shè)g（x）=lnx-m（x-$\frac{1}{x}$），即?x∈[1，+∞），g（x）≤0成立．
g′（x）=$\frac{-m{x}^{2}+x-m}{{x}^{2}}$．
①若m≤0，?x使g′（x）＞0，g（x）≥g（1）=0，這與題設(shè)g（x）≤0矛盾；
②若m＞0，方程-mx²+x-m=0的判別式△=1-4m²，
當(dāng)△≤0，即m$≥\frac{1}{2}$時，g′（x）≤0，
∴g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（x）≤g（1）=0，即不等式成立．
當(dāng)0＜m＜$\frac{1}{2}$時，方程-mx²+x-m=0的兩根為x₁，x₂（x₁＜x₂），
x₁=$\frac{1-\sqrt{1-4{m}^{2}}}{2m}$∈（0，1），x₂=$\frac{1+\sqrt{1-4{m}^{2}}}{2m}$∈（1，+∞），
當(dāng)x∈（x₁，x₂）時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，g（x）＞g（1）=0與題設(shè)矛盾．
綜上所述，m$≥\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，要求考生具有較強(qiáng)的邏輯思維能力和靈活變形能力，是壓軸題．