Question

12．正四棱錐S-ABCD的底面邊長為2，高為1，E是邊BC的中點(diǎn)，動點(diǎn)P在四棱錐表面上運(yùn)動，并且總保持PE⊥AC，則動點(diǎn)P的軌跡的周長為$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由題意知：點(diǎn)P的軌跡為如圖所示的三角形EFG，其中G、F為中點(diǎn)，可得EF=$\frac{1}{2}$BD，GE=GF=$\frac{1}{2}$SB，即可得出．

解答 解：由題意知：點(diǎn)P的軌跡為如圖所示的三角形EFG，其中G、F為中點(diǎn)，BD=2$\sqrt{2}$，SB=$\sqrt{{1}^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$．
∴EF=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{2}$，
GE=GF=$\frac{1}{2}$SB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴軌跡的周長為 $\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$．
故答案為：$\sqrt{2}$+$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了正四棱錐的性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理、正方形的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．