Question

2．在平面直角坐標(biāo)xOy中，動點P（x，y）到定直線l：x=-2的距離比到定點F（1，0）的距離大1，D（a，0）是x軸上一動點．
（1）求動點P的軌跡方程G；
（2）當(dāng)a=-1時，過D作直線，交動點P的軌跡于M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）兩點，證明：y₁y₂為定值；
（3）設(shè)A（4，y₁）是軌跡方程G在x軸上方的點，過A作AB垂直于y軸，垂足為B，C為OB的中點，以C為圓心，CO為半徑作圓C₁，討論直線AD與圓C₁的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）動點P（x，y）到定直線l：x=-1的距離與到定點F（1，0）的距離相等，由此利用拋物線定義能求出動點P的軌跡方程．
（2）設(shè)過M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）的直線方程為y=k（x+1），由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得ky²-4y+4k=0，由此能證明y₁y₂為定值．
（3）推導(dǎo)出圓C₁的圓心是點C（0，2），半徑為2，由此能判斷直線AD與圓C₁的位置關(guān)系．

解答 （本小題滿分14分）
解：（1）依題意得，動點P（x，y）到定直線l：x=-1的距離與到定點F（1，0）的距離相等，
所以動點P（x，y）的軌跡是以直線l：x=-1為準(zhǔn)線，定點F（1，0）為焦點的拋物線．…（2分）
因為$\frac{p}{2}$=1，所以2p=4，所以動點P的軌跡方程為y²=2x．…（4分）
證明：（2）當(dāng)a=-1時，設(shè)過M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）的直線方程為y=k（x+1）．…（5分）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，得ky²-4y+4k=0，
∴y₁y₂=$\frac{4k}{k}$=4，∴y₁y₂為定值．…（8分）
解：（3）由（1）和條件得y₁=4，
∴A（4，4），B（0，4），∴圓C₁的圓心是點C（0，2），半徑為2．…（9分）
當(dāng)a=4時，直線AD的方程為x=4，此時直線AD與圓C₁相離．…（10分）
當(dāng)a≠4時，直線AD的方程為y=$\frac{4}{4-a}（x-a）$，即4x-（4-a）y-4a=0，
圓心C（0，2）到直線AD的距離d=$\frac{|2a+8|}{\sqrt{16+（a-4）^{2}}}$．
令d＞2，解得a＞1；令d=2，解得a=1；令d＜2，解得a＜1．…（12分）
綜上所述，當(dāng)a＞1時，直線AD與圓C₁相離；
當(dāng)a=1時，直線AD與圓C₁相切；當(dāng)a＜1時，直線AD與圓C₁相交．…（14分）

點評 本題考查點的軌跡方程求法，考查兩點縱坐標(biāo)之積為定值的證明，考查直線與圓的位置關(guān)系的判斷，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意拋物線定義、韋達(dá)定理、點到直線距離公式的合理運(yùn)用．