Question

13．設(shè)關(guān)于x的不等式：$\frac{x+1}{k}$≥1+$\frac{2x-4}{{k}^{2}}$的解集為A，且2∈A．
（1）求實數(shù)k的取值范圍；
（2）求集合A．

Answer 1

分析 （1）由已知得k（x+1）≥k²+2x-4，由k=2，k＞2，k＜2且k≠0，分類討論，求出不等式的解集，再由2∈{x|$\frac{x+1}{k}$≥1+$\frac{2x-4}{{k}^{2}}$}，能求出實數(shù)k的取值范圍．
（2）由k=2，k＞2，k＜2且k≠0，分類討論，求出不等式的解集，從而得到集合A．

解答 解：（1）∵關(guān)于x的不等式：$\frac{x+1}{k}$≥1+$\frac{2x-4}{{k}^{2}}$的解集為A，且2∈A，
∵$\frac{x+1}{k}$≥1+$\frac{2x-4}{{k}^{2}}$，∴k（x+1）≥k²+2x-4，
∴（k-2）x≥k²-k-4，
∴①當k=2時，不等式的解集為R；
②當k＞2時，不等式的解為x≥$\frac{{k}^{2}-k-4}{k-2}$，即解集為：[$\frac{{k}^{2}-k-4}{k-2}$，+∞）；
③當k＜2且k≠0時，不等式的解為x≤$\frac{{k}^{2}-k-4}{k-2}$，即解集為（-∞，$\frac{{k}^{2}-k-4}{k-2}$]
∵2∈A，∴2∈{x|$\frac{x+1}{k}$≥1+$\frac{2x-4}{{k}^{2}}$}，
∴k=2符合，
當k＞2時，$\left\{\begin{array}{l}{k＞2}\\{2≥\frac{{k}^{2}-k-4}{k-2}}\end{array}\right.$，解得2＜k＜3；
當k＜2時，$\left\{\begin{array}{l}{k＜2}\\{2≤\frac{{k}^{2}-k-4}{k-2}}\end{array}\right.$，解得0＜k＜2．
綜上，實數(shù)k的取值范圍是（0，3）．
（2）由（1）得，當k=2時，A=R；
當k＞2時，A=[$\frac{{k}^{2}-k-4}{k-2}$，+∞）；
當k＜2且k≠0時，A=（-∞，$\frac{{k}^{2}-k-4}{k-2}$]．

點評 本題考查含參不等式的解法，考查分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化思想的運用，考查運算能力、論證求解能力的培養(yǎng)，是中檔題和易錯題．