Question

16．直線y=kx+2k與圓（x-1）²+y²=4相交于M，N兩點，若|MN|≤2，則k的取值范圍是（　�。�

• A． [-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• B． （-∞，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$]∪[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）
• C． [-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$]∪[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$]
• D． （-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$]∪[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，把|MN|≤2轉(zhuǎn)化為圓心C到直線y=kx+2k的距離d滿足$\sqrt{3}≤d＜2$，再由點到直線的距離列不等式組得答案．

解答 解：如圖，
圓（x-1）²+y²=4的圓心坐標為C（1，0），半徑為2，
當MN=2時，圓心C到直線y=kx+2k的距離d=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{3}$，
∵|MN|≤2，∴圓心C到直線y=kx+2k的距離d滿足$\sqrt{3}≤d＜2$，
即$\sqrt{3}≤\frac{|k×1-1×0+2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}＜2$，解得-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$＜k≤-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
或$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤k＜$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴k的取值范圍是（-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$]∪[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）．
故選：D．

點評 本題考查直線與圓的位置關系的應用，考查點到直線的距離公式，訓練了不等式的解法，是中檔題．