Question

1．已知a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=alnx+x²-4x
（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程；
（2）設(shè)g（x）=（a-2）x，若?x∈[$\frac{1}{e}$，e]，使得f（x）≥g（x）成立，求實數(shù)a的取值范圍．
（3）定義：若函數(shù)m（x）的圖象上存在兩點A、B，設(shè)線段AB的中點為P（x₀，y₀），若m（x）在點Q（x₀，m（x₀））處的切線l與直線AB平行或重合，則函數(shù)m（x）是“中值平均函數(shù)”，切線l叫做函數(shù)m（x）的“中值平均切線”．試判斷函數(shù)f（x）是否是“中值平均函數(shù)”？若是，判斷函數(shù)f（x）的“中值平均切線”的條數(shù)；若不是，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義解出切點坐標(biāo)和斜率，帶入直線的點斜式方程；
（2）由題意可得（x-lnx）a≤x²-2x，記F（x）=x-lnx，求出導(dǎo)數(shù)，求得最小值1，運用參數(shù)分離可得a≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間、極值和最值，即可得到a的范圍；
（3）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，假設(shè)f（x）是“中值平均函數(shù)”，則存在A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（0＜x₁＜x₂），求出切線的斜率，運用兩點的斜率公式，可得$\frac{2a}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，討論a是否為0，構(gòu)造函數(shù)求出導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，結(jié)合新定義，即可得到所求“中值平均切線”的條數(shù)．

解答 解：（1）解：（1）a=1時，f（x）=lnx+x²-4x，f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-4．
∴f（x）在x=1處的切線斜率k=f′（1）=-1，
∵f（1）=-3，
∴f（x）在x=1處的切線方程是y+3=-（x-1），即x+y+2=0，
∴函數(shù)在x=1處的切線方程為：x+y+2=0，
（2）由f（x）≥g（x），得（x-lnx）a≤x²-2x，
記F（x）=x-lnx（x＞0），F(xiàn)′（x）=$\frac{x-1}{x}$，（x＞0），
當(dāng)0＜x＜1時，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）遞減，
當(dāng)x＞1時，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）遞增；
∴F（x）≥F（1）=1＞0，
∴a≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，記G（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，x∈[$\frac{1}{e}$，e]，
∴G′（x）=$\frac{（x-1）（x-2lnx+2）}{（x-lnx）^{2}}$，
∴x-2lnx+2=2（1-lnx）+x≥x＞0，
∴x∈[$\frac{1}{e}$，e]時，G′（x）＜0，G（x）遞減；
x∈（1，e]時，G′（x）＞0，G（x）遞增；
∴G（x）_min=G（1）=-1，∴a≤G（x）_min=-1，
故實數(shù)a的取值范圍為（-∞，-1]；
（3）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=$\frac{a}{x}$+2x-4=$\frac{2{x}^{2}-4x+a}{x}$
若函數(shù)f（x）是“中值平均函數(shù)”，
則存在A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（0＜x₁＜x₂）
使得f′（x₀）=$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，即$\frac{2a}{{x}_{1}+{x}_{2}}$+x₁+x₂-4=$\frac{a（ln{x}_{2}-ln{x}_{1}）+{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}-4（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$
∴$\frac{2a}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{a（ln{x}_{2}-{lnx}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（※）
①當(dāng)a=0時，（※）對任意的0＜x₁＜x₂都成立，
∴函數(shù)f（x）是“中值平均函數(shù)”，且函數(shù)f（x）的“中值平均切線”有無數(shù)條；
②當(dāng)a≠0時，有$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$，
設(shè)t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，則方程lnt=$\frac{2（t-1）}{t+1}$在區(qū)間（1，+∞）上有解，
記函數(shù)h（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，t＞1，
則h′（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{4}{（t+1）^{2}}$=$\frac{（t-1）^{2}}{t（t+1）^{2}}$＞0，
∴函數(shù)h（t）在區(qū)間（1，+∞）遞增，
∵h（1）=0，
∴當(dāng)t＞1時，h（t）＞h（1）=0，
即方程lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$在區(qū)間（1，+∞）上無解，即函數(shù)f（x）不是“中值平均函數(shù)”；
綜上，當(dāng)a=0時，f（x）是“中值平均函數(shù)”，函數(shù)f（x）的“中值平均切線”有無數(shù)條；
當(dāng)a≠0時，f（x）不是“中值平均函數(shù)”．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式恒成立問題的解法，注意運用分離參數(shù)，考查新定義的理解和運用，注意運用分類討論的思想方法，考查構(gòu)造函數(shù)的方法，屬于中檔題．