Question

【題目】如圖，已知直線交拋物線于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），過線段（兩端點(diǎn)除外）上的任意一點(diǎn)作直線，使得直線與拋物線在點(diǎn)處的切線平行，設(shè)直線與拋物線交于、兩點(diǎn)．

（1）記直線、的斜率分別為、，證明：；

（2）若，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）設(shè)，，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義及直線的斜率公式求解；

（2）根據(jù)及，可得，表示出、，再表示出，得到，設(shè)線段的中點(diǎn)為，求出，最后根據(jù)的中點(diǎn)與點(diǎn)的連線平行于軸，得，從而得結(jié)果．

（1）由得，，則．

設(shè)點(diǎn)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，直線的斜率為．

由題意知點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)、，

則，即．

因?yàn)?/span>，，

所以；

（2）由且可知，，

不妨設(shè)點(diǎn)在上方，則，

直線的方程為．

由，得點(diǎn)的坐標(biāo)為．

所以，同理可得．

所以，得．

設(shè)線段的中點(diǎn)為，

則點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，

連接，易知，

所以．