Question

11．某工廠為了對(duì)新研發(fā)的產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到一組檢測(cè)數(shù)據(jù)（x₁，y₁）（i=1，2，…6）如表所示：

試銷價(jià)格x（元）	4	5	6	7	a	9
產(chǎn)品銷量y（件）	b	84	83	80	75	68

已知變量x，y具有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，且$\sum_{i=1}^{6}$x_i=39，$\sum_{i=1}^{6}$y_i=480，現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)通過(guò)計(jì)算求得其歸直線方程分別為：甲y=4x+54；乙y=-4x+106；丙y=-4.2x+105，其中有且僅有一位同學(xué)的計(jì)算結(jié)果是正確的．
（1）試判斷誰(shuí)的計(jì)算結(jié)果正確？并求出a，b的值；
（2）若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與檢測(cè)數(shù)據(jù)的誤差不超過(guò)1，則該檢測(cè)數(shù)據(jù)是“理想數(shù)據(jù)“，現(xiàn)從檢測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3個(gè)，求“理想數(shù)據(jù)“的個(gè)數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）$\sum_{i=1}^{6}$x_i=39，$\sum_{i=1}^{6}$y_i=480，x的和為39，y的和為480，解得a和b的值，并求得$\overline{x}$，$\overline{y}$，由x，y具有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，甲同學(xué)的不對(duì)，將$\overline{x}$，$\overline{y}$，代入驗(yàn)證，乙同學(xué)的正確；
（2）分別求出有回歸方程求得y值，與實(shí)際的y相比較，判斷是否為“理想數(shù)據(jù)“，并求得ξ的取值，分別求得其概率，寫出分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）已知變量x，y具有線性負(fù)相關(guān)關(guān)系，故甲不對(duì)，
且$\sum_{i=1}^{6}$x_i=39，4+5+6+7+a+9=39，a=8，
$\sum_{i=1}^{6}$y_i=480，b+84+83+80+75+68=480，b=90，
∵$\overline{x}=\frac{39}{6}$=6.5，
$\overline{y}=\frac{480}{6}$=80，
將$\overline{x}=6.5$，$\overline{y}=80$，代入兩個(gè)回歸方程，驗(yàn)證乙同學(xué)正確，
故回歸方程為：y=-4x+106；
（2）

X	4	5	6	7	8	9
y	90	84	83	80	75	68
y	92	88	84	80	76	72

“理想數(shù)據(jù)“的個(gè)數(shù)ξ取值為：0，1，2，3；
P（X=0）=$\frac{1}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{20}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}•{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{9}{20}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{9}{20}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{20}$．
“理想數(shù)據(jù)“的個(gè)數(shù)ξ的分布列：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{20}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{9}{20}$	=$\frac{1}{20}$

數(shù)學(xué)期望E（X）=0×$\frac{1}{20}$+1×$\frac{9}{20}$+2×$\frac{9}{20}$+3×$\frac{1}{20}$=1.5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求回歸方程，并結(jié)合概率求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望，在做題過(guò)程中要認(rèn)真審題，確定ξ的取值，屬于中檔題．