Question

2．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點M（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），其離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A、B兩點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線l與圓x²+y²=$\frac{2}{3}$相切，求證：OA⊥OB（O為坐標原點）．

Answer 1

分析 （1）由離心率及a²=b²+c²，得a與b的關(guān)系式，再將點M的坐標代入橢圓方程中，求解關(guān)于a，b的二元二次方程組，即得a²，b²，從而得橢圓的標準方程；
（2）根據(jù)圓心到直線的距離等于圓的半徑，得k與m的等量關(guān)系，要證明OA⊥OB，只需證明$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0即可，從而將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為坐標運算，聯(lián)立直線l與橢圓方程，利用韋達定理消去坐標，得到關(guān)于k，m的代數(shù)式，再利用前面k與m的等量關(guān)系即可達到目的．

解答 解：（1）由離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，a²=2b²，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，將M（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）代入，得b²=1，a²=2，
則所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1．
（2）證明：因為直線l與圓x²+y²=$\frac{2}{3}$相切，
所以$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，即m²=$\frac{2}{3}$（1+k²），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
設(shè)點A、B的坐標分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
所以y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=$\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
所以$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$+$\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{3{m}^{2}-2-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=0，
故OA⊥OB．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率公式和方程的運用，聯(lián)立直線方程，運用韋達定理，同時考查直線和圓相切的條件，屬于中檔題．