Question

10．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁（-c，0）、F₂（c，0）．若橢圓上存在點(diǎn)P使$\frac{a}{sin∠PF_1F_2}$=$\frac{c}{sin∠PF_2F_1}$，求該橢圓的離心率的取值范圍．

Answer 1

分析 利用正弦定理、橢圓的定義，結(jié)合條件，即可求該橢圓的離心率的取值范圍．

解答 解：在△PF₁F₂中，由正弦定理知$\frac{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}{sin∠P{F}_{2}{F}_{1}}$=$\frac{|P{F}_{2}|}{|P{F}_{1}|}$，
∵$\frac{a}{sin∠P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{c}{sin∠P{F}_{2}{F}_{1}}$，
∴$\frac{|P{F}_{2}|}{|P{F}_{1}|}$=$\frac{a}{c}$=$\frac{1}{e}$，即|PF₁|=e|PF₂|．①
又∵P在橢圓上，∴|PF₁|+|PF₂|=2a，
將①代入得|PF₂|=$\frac{2a}{e+1}$∈（a-c，a+c），
同除以a得，1-e＜$\frac{2}{e+1}$＜1+e，得$\sqrt{2}$-1＜e＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率的取值范圍，考查正弦定理、橢圓的定義，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．．