Question

9．已知點(diǎn)A（1，3），B（3，6），點(diǎn)P在直線y=x+1上，求|PA|+|PB|的最小值，以及取最小值時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)A（1，3）關(guān)于直線y=x+1的對(duì)稱點(diǎn)A′（m，n）．利用軸對(duì)稱的性質(zhì)可得A′的坐標(biāo)．連接A′B與直線相交于點(diǎn)P，則|PA|+|PB|的最小值為|A′B|．利用兩點(diǎn)間的距離公式即可得出|PA|+|PB|的最小值，求出A′B方程，與y=x+1聯(lián)立，可得P的坐標(biāo)．

解答 解：設(shè)點(diǎn)A（1，3）關(guān)于直線y=x+1的對(duì)稱點(diǎn)A′（m，n）．
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n+3}{2}=\frac{m+1}{2}+1}\\{\frac{n-3}{m-1}=-1}\end{array}\right.$，
解得m=2，n=2，
連接A′B與直線相交于點(diǎn)P，則|PA|+|PB|的最小值為|A′B|=$\sqrt{（3-2）^{2}+（6-2）^{2}}$=$\sqrt{17}$．
A′B方程為y-2=$\frac{6-2}{3-2}$（x-2），即4x-y-6=0，
與y=x+1聯(lián)立，可得P的坐標(biāo)為（$\frac{7}{3}$，$\frac{10}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了最小值問題轉(zhuǎn)化為軸對(duì)稱問題，考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，屬于中檔題．