Question

11．已知數列{a_n}的前n項和記為S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n≥1）．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）等差數列{b_n}的各項為正，其前n項和為T_n，且T₃=15，又a₁+b₁、a₂+b₂、a₃+b₃成等比數列，求T_n；
（3）求數列{a_n•b_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：a_n=2S_n-1+1（n≥2），所以a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n（n≥2），又因為a₂=3a₁，故{a_n}是等比數列，進而得到答案．
（2）根據題意可得b₂=5，故可設b₁=5-d，b₃=5+d，所以結合題意可得（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）²，進而求出公差得到等差數列的前n項和為T_n；
（3）求出數列{a_n•b_n}的通項，運用錯位相減法，結合等比數列的求和公式，可得所求前n項和．

解答 解：（1）因為a_n+1=2S_n+1，…①
所以a_n=2S_n-1+1（n≥2），…②
所以①②兩式相減得a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n（n≥2），
又因為a₂=2S₁+1=3，
所以a₂=3a₁，
故{a_n}是首項為1，公比為3的等比數列
∴a_n=3^n-1．
（2）設{b_n}的公差為d，
由T₃=15得，可得b₁+b₂+b₃=15，可得b₂=5，
故可設b₁=5-d，b₃=5+d，
又因為a₁=1，a₂=3，a₃=9，并且a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數列，
所以可得（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）²，
解得d₁=2，d₂=-10，
∵等差數列{b_n}的各項為正，
∴d＞0，∴d=2，b₁=3，
∴T_n=3n+$\frac{1}{2}$n（n-1）•2=n²+2n；
（3）a_n•b_n=（2n+1）•3^n-1．
前n項和R_n=3•1+5•3+7•3²+…+（2n+1）•3^n-1，
3R_n=3•3+5•3²+7•3³+…+（2n+1）•3ⁿ．
兩式相減可得，-2R_n=3+2（3+3²+…+3^n-1）-（2n+1）•3ⁿ
=3+2•$\frac{3（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（2n+1）•3ⁿ．
化簡可得前n項和為R_n=n•3ⁿ．

點評 本題主要考查求數列通項公式和求和的方法，以及等比數列與等差數列的有關性質與求和，屬于中檔題．