Question

2．已知常數(shù)p滿足0＜p＜1，數(shù)列{x_n}滿足x₁=p+$\frac{1}{p}$，x_n+1=${x}_{n}^{2}$-2．
（1）求x₂，x₃，x₄；
（2）猜想{x_n}的通項公式，并給出證明
（3）求證：x_n+1＞x_n對n∈N^*成立
（4）求證：$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}{x}_{3}}$+…+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}…{x}_{n}}$＜p．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{x_n}滿足x₁=p+$\frac{1}{p}$，x_n+1=${x}_{n}^{2}$-2．可得：x₂=${x}_{1}^{2}$-2=${p}^{2}+\frac{1}{{p}^{2}}$．同理可得：x₃=${p}^{4}+\frac{1}{{p}^{4}}$，x₄=${p}^{8}+\frac{1}{{p}^{8}}$．
（2）猜想{x_n}的通項公式為：x_n=${p}^{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{p}^{{2}^{n-1}}}$，利用數(shù)學歸納法證明即可．
（3）x_n=${p}^{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{p}^{{2}^{n-1}}}$，（n∈N^*），0＜p＜1，可得x_n＞0，${p}^{{2}^{n-2}}$＜$\frac{1}{{p}^{{2}^{n-2}}}$．可得x_n+1-x_n=${x}_{n}^{2}-{x}_{n}$-2=（x_n-2）（x_n+1），即可證明．
（4）利用數(shù)學歸納法證明即可．

解答 （1）解：∵數(shù)列{x_n}滿足x₁=p+$\frac{1}{p}$，x_n+1=${x}_{n}^{2}$-2．
∴x₂=${x}_{1}^{2}$-2=$（p+\frac{1}{p}）^{2}$-2=${p}^{2}+\frac{1}{{p}^{2}}$．
同理可得：x₃=${p}^{4}+\frac{1}{{p}^{4}}$，x₄=${p}^{8}+\frac{1}{{p}^{8}}$．
（2）解：猜想{x_n}的通項公式為：x_n=${p}^{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{p}^{{2}^{n-1}}}$，
下面利用數(shù)學歸納法給出證明：
①當n=1時，x₁=p+$\frac{1}{p}$，成立．
②假設(shè)當n=k（k∈N^*）時成立，即x_k=${p}^{{2}^{k-1}}$+$\frac{1}{{p}^{{2}^{k-1}}}$．
則x_k+1=${x}_{k}^{2}$-2=$（{p}^{{2}^{k-1}}+\frac{1}{{p}^{{2}^{k-1}}}）^{2}$-2=${p}^{{2}^{k+1-1}}$+$\frac{1}{{p}^{{2}^{k+1-1}}}$，
因此當n=k=1時假設(shè)成立，．
綜上可得：{x_n}的通項公式為：x_n=${p}^{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{p}^{{2}^{n-1}}}$，（n∈N^*）．
（3）證明：∵x_n=${p}^{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{p}^{{2}^{n-1}}}$，（n∈N^*），0＜p＜1，
∴x_n＞0，${p}^{{2}^{n-2}}$＜$\frac{1}{{p}^{{2}^{n-2}}}$．
∴x_n+1-x_n=${x}_{n}^{2}-{x}_{n}$-2=（x_n-2）（x_n+1）=$（{p}^{{2}^{n-2}}-\frac{1}{{p}^{{2}^{n-2}}}）^{2}$（x_n+1）＞0，
∴x_n+1＞x_n．
（4）證明：下面利用數(shù)學歸納法證明：$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}{x}_{3}}$+…+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}…{x}_{n}}$＜p．0＜p＜1．
①n=1時，$\frac{1}{{x}_{1}}$=$\frac{1}{p+\frac{1}{p}}$＜$\frac{1}{\frac{1}{p}}$=p．
②假設(shè)n=k（k∈N^*）時：$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}{x}_{3}}$+…+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}•…•{x}_{k}}$＜p，
∵x_n+1＞x_n＞0．
則$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}{x}_{3}}$+…+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}•…•{x}_{k}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}•…•{x}_{k+1}}$＜$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{1}}$（$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}{x}_{3}}$+…+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}•…•{x}_{k}}$）＜$\frac{1+p}{{x}_{1}}$=p，
因此n=k+1時也成立．
綜上可得：$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}{x}_{3}}$+…+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}…{x}_{n}}$＜p．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、乘法公式、數(shù)學歸納法、不等式的性質(zhì)，考查了猜想歸納推理能力與計算能力，屬于難題．