2.已知常數(shù)p滿足0<p<1,數(shù)列{xn}滿足x1=p+$\frac{1}{p}$,xn+1=${x}_{n}^{2}$-2.
(1)求x2,x3,x4;
(2)猜想{xn}的通項公式,并給出證明
(3)求證:xn+1>xn對n∈N*成立
(4)求證:$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}{x}_{3}}$+…+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}…{x}_{n}}$<p.

分析 (1)數(shù)列{xn}滿足x1=p+$\frac{1}{p}$,xn+1=${x}_{n}^{2}$-2.可得:x2=${x}_{1}^{2}$-2=${p}^{2}+\frac{1}{{p}^{2}}$.同理可得:x3=${p}^{4}+\frac{1}{{p}^{4}}$,x4=${p}^{8}+\frac{1}{{p}^{8}}$.
(2)猜想{xn}的通項公式為:xn=${p}^{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{p}^{{2}^{n-1}}}$,利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.
(3)xn=${p}^{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{p}^{{2}^{n-1}}}$,(n∈N*),0<p<1,可得xn>0,${p}^{{2}^{n-2}}$<$\frac{1}{{p}^{{2}^{n-2}}}$.可得xn+1-xn=${x}_{n}^{2}-{x}_{n}$-2=(xn-2)(xn+1),即可證明.
(4)利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.

解答 (1)解:∵數(shù)列{xn}滿足x1=p+$\frac{1}{p}$,xn+1=${x}_{n}^{2}$-2.
∴x2=${x}_{1}^{2}$-2=$(p+\frac{1}{p})^{2}$-2=${p}^{2}+\frac{1}{{p}^{2}}$.
同理可得:x3=${p}^{4}+\frac{1}{{p}^{4}}$,x4=${p}^{8}+\frac{1}{{p}^{8}}$.
(2)解:猜想{xn}的通項公式為:xn=${p}^{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{p}^{{2}^{n-1}}}$,
下面利用數(shù)學(xué)歸納法給出證明:
①當(dāng)n=1時,x1=p+$\frac{1}{p}$,成立.
②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時成立,即xk=${p}^{{2}^{k-1}}$+$\frac{1}{{p}^{{2}^{k-1}}}$.
則xk+1=${x}_{k}^{2}$-2=$({p}^{{2}^{k-1}}+\frac{1}{{p}^{{2}^{k-1}}})^{2}$-2=${p}^{{2}^{k+1-1}}$+$\frac{1}{{p}^{{2}^{k+1-1}}}$,
因此當(dāng)n=k=1時假設(shè)成立,.
綜上可得:{xn}的通項公式為:xn=${p}^{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{p}^{{2}^{n-1}}}$,(n∈N*).
(3)證明:∵xn=${p}^{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{p}^{{2}^{n-1}}}$,(n∈N*),0<p<1,
∴xn>0,${p}^{{2}^{n-2}}$<$\frac{1}{{p}^{{2}^{n-2}}}$.
∴xn+1-xn=${x}_{n}^{2}-{x}_{n}$-2=(xn-2)(xn+1)=$({p}^{{2}^{n-2}}-\frac{1}{{p}^{{2}^{n-2}}})^{2}$(xn+1)>0,
∴xn+1>xn
(4)證明:下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明:$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}{x}_{3}}$+…+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}…{x}_{n}}$<p.0<p<1.
①n=1時,$\frac{1}{{x}_{1}}$=$\frac{1}{p+\frac{1}{p}}$<$\frac{1}{\frac{1}{p}}$=p.
②假設(shè)n=k(k∈N*)時:$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}{x}_{3}}$+…+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}•…•{x}_{k}}$<p,
∵xn+1>xn>0.
則$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}{x}_{3}}$+…+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}•…•{x}_{k}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}•…•{x}_{k+1}}$<$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{1}}$($\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}{x}_{3}}$+…+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}•…•{x}_{k}}$)<$\frac{1+p}{{x}_{1}}$=p,
因此n=k+1時也成立.
綜上可得:$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}{x}_{3}}$+…+$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}…{x}_{n}}$<p.

點評 本題考查了遞推關(guān)系、乘法公式、數(shù)學(xué)歸納法、不等式的性質(zhì),考查了猜想歸納推理能力與計算能力,屬于難題.

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