Question

17．已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n，{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=2ⁿ，c_n的值為{a_n}的前n項(xiàng)中含有{b_n}中元素的個(gè)數(shù)，記S_n為數(shù)列{c_n]的前n項(xiàng)和，則下列說(shuō)法中正確的為①②（填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）．
①當(dāng)n=2^k（k=1，2，3…）時(shí)，c_n=k；
②當(dāng)n=2^k+1-1（k=1，2，3…）時(shí)，c_n=k；
③當(dāng)n=2^k+1-1（k=1，2，3…）時(shí)，S_n=（k-1）•2^k+1+2．

Answer 1

分析 ①當(dāng)n=2^k（k=1，2，3…）時(shí)，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)中含有{b_n}中元素為：2¹，2²，…，2^k，共有k個(gè)元素；
②當(dāng)n=2^k+1-1（k=1，2，3…）時(shí)，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)中：1，2¹，2¹+1，2²，2²+1，2²+2，2²+3，2³，…，2^k，2^k+1，…，2^k+2^k-1（即2^k+1-1），即可判斷出正誤．
③當(dāng)n=2^k+1-1（k=1，2，3…）時(shí)，利用②及其等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：①當(dāng)n=2^k（k=1，2，3…）時(shí)，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)中含有{b_n}中元素為：2¹，2²，…，2^k，共有k個(gè)元素，因此c_n=k，正確；
②當(dāng)n=2^k+1-1（k=1，2，3…）時(shí)，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)中：1，2¹，2¹+1，2²，2²+1，2²+2，2²+3，2³，…，2^k，2^k+1，…，2^k+2^k-1（即2^k+1-1）．因此含有{b_n}中元素為：2¹，2²，…，2^k，共有k個(gè)元素，因此c_n=k，正確；
③當(dāng)n=2^k+1-1（k=1，2，3…）時(shí)，S_n=2¹+2²+…+2^k=$\frac{2（{2}^{k}-1）}{2-1}$=2^k+1-2．因此不正確．
綜上可知：只有①②正確．
故答案為：①②．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．