Question

4．在公差不為零的等差數(shù)列{a_n}中，其前n項和為S_n，已知a₃=5，且a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求a_n和S_n；
（Ⅱ）記${T_n}=\frac{1}{{{a_1}{a_2}}}+\frac{1}{{a{\;}_2{a_3}}}+…\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，若${T_n}≥\frac{9}{{{S_{n+k}}}}$對任意正整數(shù)n恒成立，求正整數(shù)k的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設{a_n}的公差為d，運用等差數(shù)列的通項公式和求和公式，結合等比數(shù)列的中項的性質，解方程可得首項和公差，進而得到所求；
（Ⅱ）求得$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），運用裂項相消求和可得T_n，運用參數(shù)分離和數(shù)列的單調性，可得最小值，即可得到正整數(shù)k的最小值．

解答 解：（Ⅰ）設{a_n}的公差為d，
由a₃=5，且a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，
可得a₂²=a₁a₅，
則$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+2d=5\\{（{a_1}+d）^2}={a_1}（{a_1}+4d）\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\ d=2\end{array}\right.$，
∴a_n=2n-1，S_n=$\frac{1}{2}$（1+2n-1）n，
可得${S_n}={n^2}$；
（Ⅱ）$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
${T_n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$，
∴$\frac{n}{2n+1}≥\frac{9}{{{{（n+k）}^2}}}$，
∴${（n+k）^2}≥9（2+\frac{1}{n}）$恒成立，
∴$k≥3\sqrt{2+\frac{1}{n}}-n$，
$記{c_n}=3\sqrt{2+\frac{1}{n}}-n$，則{c_n}是遞減數(shù)列，
∴$k≥{c_1}=3\sqrt{3}-1$，
∴k_min=5．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式的運用，考查等比數(shù)列的中項的性質，以及數(shù)列的求和方法：裂項相消求和，同時考查不等式恒成立問題的解法，注意運用分離參數(shù)和數(shù)列的單調性，求得最值，屬于中檔題．