Question

已知函數(shù)f（x）=log_a

1+mx

1+x

（a＞0且a≠1）在其定義域上是奇函數(shù)．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）解不等式f（x²）＞f（

x+2

3

）；
（Ⅲ）若a=2，判斷f（x）=x+1是否有根？如果有根x₀，求出一個(gè)長(zhǎng)度為

1

4

的區(qū)間（b，c），使x₀∈（b，c）．如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．（注：區(qū)間（b，c）的長(zhǎng)度為c-b）

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知得f（-x）+f（x）=loga(

1-mx

1-x

×

1+mx

1+x

)=0，由此能求出m=-1．
（Ⅱ）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由f（x²）＞f（

x+2

3

），得

1-x2

1+x2

＜

1-( x+2 3 )2

1+( x+2 3 )2

；當(dāng)a＞1時(shí)，f（x²）＞f（

x+2

3

），得x∈∅．由此能求出當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x²）＞f（

x+2

3

）的解集為{x|-1＜x＜1}，當(dāng)a＞1時(shí)，f（x²）＞f（

x+2

3

）無(wú)解．
（Ⅲ）由題意，知方程f（x）=x+1等價(jià)于log2

1-x

1+x

=x+1，可化為（x+1）•2^x+1+x-1=0，設(shè)g（x）=（x+1）•2^x+1+x-1，x∈（-1，1），由此能求出滿(mǎn)足題意的一個(gè)區(qū)間為（-

1

2

，-

1

4

）．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=log_a

1+mx

1+x

（a＞0且a≠1）在其定義域上是奇函數(shù)，
∴f（-x）+f（x）=loga(

1-mx

1-x

×

1+mx

1+x

)=0，
∴

1-mx

1-x

•

1+mx

1+x

=

1-m2x2

1-x2

=1，
∴m²=1，解得m=-1或m=1（舍）．
故m=-1．
（Ⅱ）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由f（x²）＞f（

x+2

3

），得：

1-x2

1+x2

＜

1-( x+2 3 )2

1+( x+2 3 )2

，即

1-x2

1+x2

＜

5-x2-4x

13+x2+4x

，
由

1-x

1+x

＞0，得-1＜x＜1．
∴13x²-4x+1＞0，
∴x∈R．
綜上，-1＜x＜1．
同時(shí)，當(dāng)a＞1時(shí)，f（x²）＞f（

x+2

3

），得x∈∅．
綜上所述，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x²）＞f（

x+2

3

）的解集為{x|-1＜x＜1}，
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x²）＞f（

x+2

3

）無(wú)解．
（Ⅲ）由題意，知方程f（x）=x+1等價(jià)于log2

1-x

1+x

=x+1，
可化為（x+1）•2^x+1+x-1=0，
設(shè)g（x）=（x+1）•2^x+1+x-1，x∈（-1，1），
則g（-

1

2

）=

1

2

×2

1

2

-

1

2

-1=

2 -3

2

＜0，g（0）=2-1=1＞0，
∴g(-

1

2

)g(0)＜0，故方程在（-

1

2

，0）上必有根，
又∵g(-

1

4

)=

3

4

×2

3

4

-

1

4

-1=

3 4 8 -5

4

=

4 648 - 4 625

4

＞0，
∴g(-

1

2

)g(-

1

4

)＜0，
故方程在（-

1

2

，-

1

4

）必有一根，
∴滿(mǎn)足題意的一個(gè)區(qū)間為（-

1

2

，-

1

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)值的求法，考查不等式的解法，考查滿(mǎn)足條件的區(qū)間的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．