Question

15．在極坐標(biāo)系中，直線l：ρcosθ=$\frac{1}{2}$與曲線C：ρ=2cosθ相交于A、B兩點，O為極點．
（1）求∠AOB的大�。�
（2）設(shè)把曲線C向左平移一個單位再經(jīng)過伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=y}\end{array}\right.$得到曲線C′，設(shè)M（x，y）為曲線C′上任一點，求x²-$\sqrt{3}$xy+2y²的最小值，并求相應(yīng)點M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，求出AC，DC的值，可得∠AOC的值，從而得到∠AOB=2∠AOC的值；
（2）確定曲線C′的直角坐標(biāo)方程，利用參數(shù)法求x²-$\sqrt{3}$xy+2y²的最小值，并求相應(yīng)點M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）直線ρcosθ=$\frac{1}{2}$即x=$\frac{1}{2}$，曲線ρ=2cosθ 即ρ²=2ρcosθ，即（x-1）²+y²=1，
表示以C（1，0）為圓心，以1為半徑的圓．如圖．
Rt△ADC中，∵cos∠ACO=$\frac{CD}{AC}$=$\frac{1}{2}$，∴∠ACO=$\frac{π}{3}$，
在△AOC中，AC=OC，∴∠AOC=$\frac{π}{3}$，∴∠AOB=2∠AOC=$\frac{2π}{3}$…（5分）
（2）曲線C：（x-1）²+y²=1，向左平移一個單位再經(jīng)過伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=y}\end{array}\right.$得到曲線C′的直角坐標(biāo)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
設(shè)M（2cosα，sinα），所以x²-$\sqrt{3}$xy+2y²=3+2cos（2α+$\frac{π}{3}$）
∴$α=kπ+\frac{π}{3}$時，x²-$\sqrt{3}$xy+2y²的最小值為1
此時點M的坐標(biāo)為（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）或（-1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）…（10分）

點評 本題考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，直線和圓的位置關(guān)系，求出∠ACO是解題的關(guān)鍵．屬于中檔題．