Question

已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)f（x）的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0；當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）＞0，且f（2）=0，則關(guān)于x的不等式（x+1）f（x）＞0的解集為（　�。�

• A、（-2，-1）∪（0，2）
• B、（-∞，-2）∪（0.2）
• C、（-2，0）
• D、（1，2）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的特點(diǎn)，容易判斷函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性，分別在各個單調(diào)區(qū)間內(nèi)解不等式（x+1）f（x）＞0，并把0變成f（0），或f（2），f（-2），從而根據(jù)函數(shù)f（x）在單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性解出f（x）＞0，或f（x）＜0，從而解出原不等式在該區(qū)間的解，把原不等式在各個單調(diào)區(qū)間的解求并集即得原不等式的解．

解答： 解：根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，通過已知條件知道：函數(shù)f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上單調(diào)遞減；在[-1，1]上單調(diào)遞增；
又f（0）=0，f（2）=f（-2）=0；
∴若-1＜x＜1時：x+1＞0，∴由原不等式得f（x）＞0=f（0），根據(jù)函數(shù)f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增得0＜x＜1；
若x≥1，x+1＞0，∴由原不等式得f（x）＞0=f（2），根據(jù)函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減得1≤x＜2；
若x＜-1，x+1＜0，∴由原不等式得f（x）＜0=f（-2），根據(jù)函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上單調(diào)遞減得-2＜x＜-1；
∴原不等式的解集為：（0，2）∪（-2，-1）．
故選：A．

點(diǎn)評：考查奇函數(shù)圖象的對稱性，對稱區(qū)間上的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式的方法．