Question

8．求函數(shù)y=$lo{g}_{\frac{1}{2}}$（2-x²）的定義域、值域及單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 利用2-x²＞0求解定義域，
設t=-x²+2，利用復合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系進行求解值域，單調(diào)區(qū)間即可

解答 解：設t=-x²+2，則由-x²+2＞0得，-$\sqrt{2}$＜x＜$\sqrt{2}$，即函數(shù)的定義域為（$-\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
∵t=-x²+2，t∈（0，2]，y=log_0.5t為減函數(shù)，
∴l(xiāng)og_0.5t≥log_0.52=-1，
函數(shù)的值域為[-1，+∞）．
∵t=-x²+2對稱軸x=0，
∴當x∈（-$\sqrt{2}$，0]，函數(shù)t=-x²+2增函數(shù)，此時函數(shù)y=log_0.5（-x²+2為減函數(shù)，
當x∈[0，$\sqrt{2}$），函數(shù)t=-x²+2為減函數(shù)，此時函數(shù)y=log_0.5（-x²+2）為增函數(shù)，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，$\sqrt{2}$），單調(diào)遞減區(qū)間為（-$\sqrt{2}$，0]．

點評 本題主要考查函數(shù)值域和單調(diào)區(qū)間的求解，利用換元法結(jié)合復合函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵