Question

13．如圖，△ABC中，D為AC中點，E為BD中點，設$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow$．
（1）試用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$表示向量$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AE}$；
（2）若|$\overrightarrow{a}$|=2，|$\overrightarrow$|=3，且（$\frac{4}{3}$$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$）$⊥\overrightarrow{a}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量減法、數(shù)乘的幾何意義，以及向量加法的平行四邊形法則便可以用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$表示出向量$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{AE}$；
（2）由$（\frac{4}{3}\overrightarrow-\overrightarrow{a}）⊥\overrightarrow{a}$便可得到$（\frac{4}{3}\overrightarrow-\overrightarrow{a}）•\overrightarrow{a}=0$，這樣即可求出$cos∠ABC=\frac{1}{2}$，從而可得出$sin∠ABC=\frac{\sqrt{3}}{2}$，從而由面積的計算公式即可求出△ABC的面積．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow$，$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）=\frac{1}{2}（-\overrightarrow{BA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}）$=$\frac{1}{2}[-\overrightarrow+\frac{1}{2}（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）]=\frac{1}{4}\overrightarrow{a}-\frac{3}{4}\overrightarrow$；
（2）∵$（\frac{4}{3}\overrightarrow-\overrightarrow{a}）⊥\overrightarrow{a}$，且$|\overrightarrow{a}|=2，|\overrightarrow|=3$；
∴$（\frac{4}{3}\overrightarrow-\overrightarrow{a}）•\overrightarrow{a}=\frac{4}{3}\overrightarrow{a}•\overrightarrow-{\overrightarrow{a}}^{2}=8cos$∠ABC-4=0；
∴$cos∠ABC=\frac{1}{2}$；
∴$sin∠ABC=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{BC}||\overrightarrow{BA}|sin∠ABC$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
即△ABC的面積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點評 考查向量減法及數(shù)乘的幾何意義，以及向量加法的平行四邊形法則，向量的數(shù)乘運算，向量垂直的充要條件，數(shù)量積的運算及計算公式，三角形的面積公式．